2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学-优题课

复数 $i (2 - i) =$ （）

A．

1 + 2 i

B．

1 - 2 i

C．

- 1 + 2 i

D．

- 1 - 2 i

若 $x, y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A．

0

B．

1

C．

\frac{3}{2}

D．

2

执行如图所示的程序框图，输出的结果为

(- 2, 2)

(- 4, 0)

(- 4, - 4)

(0, - 8)

设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ 是直线且 $m \subset α$ ．" $m / / β$ "是" $α / / β$ "的（）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A．

2 + \sqrt{5}

B．

4 + \sqrt{5}

C．

2 + 2 \sqrt{5}

D．

5

设 ${a_{n}}$ 是等差数列.下列结论中正确的是（）

A．	若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$	B．	若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$
C．	若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$	D．	若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{2} - a_{3}) > 0$

如图，函数 $f (x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f (x) \geq \log_{2} (x + 1)$ 的解集是（）

A．	${x - 1 < x \leq 0}$	B．	${x - 1 \leq x \leq 1}$
C．	${x - 1 < x \leq 1}$	D．	${x - 1 < x \leq 2}$

汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗 $1$ 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

消耗

1

升汽油，乙车最多可行驶

5

千米以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多甲车以

80

千米

/

小时的速度行驶

1

小时，消耗

10

升汽油某城市机动车最高限速

80

千米

/

小时,相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

在 ${(2 + x)}^{5}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数为.(用数字作答)

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，则 $a =$ ．

在极坐标系中，点 $(2, \frac{π}{3})$ 到直线 $p (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) = 6$ 的距离为．

在 $△ A B C$ 中， $a = 4, b = 5, c = 6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C} =$ ．

在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 满足 $\overset{⇀}{A M} = 2 \overset{⇀}{M C}$ , $\overset{⇀}{B N} = \overset{⇀}{N C}$ ．若 $\overset{⇀}{M N} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A C}$ ，则 $x =$ ； $y =$ ．

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x} - a x < 1 \\ 4 (x - a) (x - 2 a) x \geq 1 \end{cases}$ ,

①若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 的最小值为；
②若 $f (x)$ 恰有2个零点，则实数 $a$ $a \geq 2$ 的取值范围是．

已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \sin^{2} \frac{x}{2}$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- π, 0]$ 上的最小值．

，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的
人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

如图，在四棱锥 $A - E F C B$ 中， $△ A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F ⊥$ 平面 $E F C B$ ， $E F / / B C$ ， $B C = 4$ ， $E F = 2 a$ ， $∠ E B C = ∠ F C B = 60 °$ ， $O$ 为 $E F$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A O ⊥ B E$ ；
（Ⅱ）求二面角 $F - A B - B$ 的余弦值；
（Ⅲ）若 $B E ⊥$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；
（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0, 1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P (0, 1)$ 和点 $A (m, n)$ $(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m$ ， $n$ 表示）；
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．问： $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得
$∠ O Q M = ∠ O N Q$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leq 36$ ,且 $a_{n + 1} = \{\begin{cases} 2 a_{n} & a_{n} ⩽ 18 \\ 2 a_{n} - 36 & a_{n} > 18 \end{cases}$ .记集合 $M = \{a_{n} n \in N^{*}\}$ ．
（Ⅰ）若 $a_{1} = 6$ ,写出集合 $M$ 的所有元素；
（Ⅱ）若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数,证明: $M$ 的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．