2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学-优题课

已知集合 $A = \{x | - 1 < x < 2\}$ , $B = \{x | 0 < x < 3\}$ ,则 $A \cup B =$ （）

A．

(- 1, 3)

B．

(- 1, 0)

C．

(0, 2)

D．

(2, 3)

若为 $a$ 实数,且 $\frac{2 + a i}{1 + i} = 3 + i$ ,则 $a =$ （）

A．

-4

B．

-3

C．

3

D．

4

根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）

A．	逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B．	2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C．	2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D．	2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

已知 $a = (1, - 1)$ $b = (- 1, 2)$ ,则 $(2 a + b) \cdot a =$ （）

A．

-1

B．

0

C．

1

D．

2

设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3$ ,则 $S_{5} =$ （）

A．

5

B．

7

C．

9

D．

11

一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A．

$\frac{1}{8}$

B．

$\frac{1}{7}$

C．

$\frac{1}{6}$

D．

$\frac{1}{5}$

已知三点 $A (1, 0), B (0, \sqrt{3}), C (2, \sqrt{3})$ ,则 $△ A B C$ 外接圆的圆心到原点的距离为（）

A．

$\frac{5}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{21}}{3}$

C．

$\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

D．

$\frac{4}{3}$

下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术",执行该程序框图,若输入的 $a, b$ 分别为14,18,则输出的 $a$ 为（）

已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{4}$ , $a_{3} a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ,则 $a_{2} =$ （）

A．

2

B．

1

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{1}{8}$

已知 $A, B$ 是球 $O$ 的球面上两点, $∠ A O B = 90^{°}$ , $C$ 为该球面上的动点.若三棱锥 $O - A B C$ 体积的最大值为36,则球 $O$ 的表面积为（）

A．

36 $π$

B．

64 $π$

C．

144 $π$

D．

256 $π$

如图,长方形的边 $A B = 2, B C = 1,$ $O$ 是 $A B$ 的中点,点 $P$ 沿着边 $B C, C D$ 与 $D A$ 运动,记 $∠ B O P = x$ ,将动点 $P$ 到 $A, B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f (x)$ ,则的图像大致为（）

设函数 $f (x) = \ln (1 + |x|) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ,则使得 $f (x) > f (2 x - 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A．

(\frac{1}{3}, 1)

B．

(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)

C．

(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

D．

(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)

已知函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x$ 的图像过点 $(- 1, 4)$ ,则 $a =$ ．

若 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 5 \leq 0 \\ 2 x - y - 1 \geq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \end{matrix}$ ,则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

已知双曲线过点 $(4, \sqrt{3})$ ,且渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ,则该双曲线的标准方程为.

已知曲线 $y = x + \ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 1$ 相切,则 $a =$ ．

$△ A B C$ 中 $D$ 是 $B C$ 上的点, $A D$ 平分 $∠ B A C, B D = 2 D C$ .

（Ⅰ）求 $\frac{\sin ∠ B}{\sin ∠ C}$ ；
（Ⅱ）若 $∠ B A C = 60^{°}$ ,求 $∠ B$ .

某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 $A, B$ 两地区分别随机调查了 $40$ 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 $A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布表.
$A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

$B$ 地区用户满意度评分的频率分布表

满意度评分分组
频数	2	8	14	10	6

（Ⅰ）描述出 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
$B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

如图,长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 16$ , $B C = 10$ , $A A_{1} = 8$ ,点 $E$ , $F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上, $A_{1} E = D_{1} F = 4$ 过点 $E$ , $F$ 的平面 $α$ 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（Ⅱ）求平面 $α$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）直线 $l$ 不经过原点 $O$ ,且不平行于坐标轴, $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ,线段 $A B$ 中点为 $M$ ,证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值.

已知 $f (x) = \ln x + a (1 - x)$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $f (x)$ 有最大值,且最大值大于 $2 a - 2$ 时,求 $a$ 的取值范围.

如图 $O$ 是等腰三角形 $A B C$ 内一点,圆 $O$ 与 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 交于 $M, N$ 两点,与底边上的高交于点 $G$ ,且与 $A B, A C$ 分别相切于 $E, F$ 两点.

（Ⅰ）证明 $E F / / B C$

（Ⅱ）若 $A G$ 等于圆 $O$ 半径,且 $A E = M N = 2 \sqrt{3}$ ,求四边形 $E B C F$ 的面积.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中,曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数,且 $t \neq 0$ ）,其中 $0 \leq α < π$ ,在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 $C_{2} : ρ = 2 \sin θ, C_{3} : 2 \sqrt{3} \cos θ$

（Ⅰ）求 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A$ , $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$ ,求 $|A B|$ 最大值.

设 $a, b, c, d$ 均为正数,且 $a + b = c + d$ .

证明：
（Ⅰ）若 $a b > c d$ ,则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；
（Ⅱ） $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $|a - b| < |c - d|$ 的充要条件.