2015年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）-优题课

已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {2, 3, 5, 6}$ ，集合 $B = {1, 3, 4, 6, 7}$ ，则集合 $A \cap C_{u} B =$ （）

A．

{2, 5}

B．

{3, 6}

C．

{2, 5, 6}

D．

\{2, 3, 5, 6, 8\}

设变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 6 y$ 的最大值为（）

A．

3

B．

4

C．

18

D．

40

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A．

- 10

B．

6

C．

14

D．

18

设 $x \in R$ ，则" $|x - 2| < 1$ "是" $x^{2} + x - 2 > 0$ "的（）

A．	充分而不必要条件
B．	必要而不充分条件
C．	充要条件
D．	既不充分也不必要条件

如图，在圆 $O$ 中， $M, N$ 是弦 $A B$ 的三等分点，弦 $C D, C E$ 分别经过点 $M, N$ .若 $C M = 2, M D = 4, C N = 3$ ，则线段 $N E$ 的长为（）

A．

\frac{8}{3}

B．

3

C．

\frac{10}{3}

D．

\frac{5}{2}

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(2, \sqrt{3})$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A．

\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{28} = 1

B．

\frac{x^{2}}{28} - \frac{y^{2}}{21} = 1

C．

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1

D．

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1

已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{|x - m|} - 1$ （ $m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f (\log_{0.5} 3), b = f (\log_{2} 5), c = f (2 m)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A．

a < b < c

B．

a < c < b

C．

c < a < b

D．

c < b < a

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 - |x| & x \leq 2 \\ {(x - 2)}^{2} & x > 2 \end{cases}$ ,函数 $g (x) = b - f (2 - x)$ ,其中 $b \in R$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 恰有4个零点，则 $b$ 的取值范围是（）

A．

(\frac{7}{4}, + \infty)

B．

(- \infty, \frac{7}{4})

C．

(0, \frac{7}{4})

D．

(\frac{7}{4}, 2)

$i$ 是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ）,则该几何体的体积为.

曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x$ 所围成的封闭图形的面积为.

在 $(x - \frac{1}{4 x})^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.

在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,已知 $∆ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ , $b - c = 2, \cos A = - \frac{1}{4}$ ,则 $a$ 的值为.

在等腰梯形 $A B C D$ 中,已知 $A B / / D C, A B = 2, ∠ A B C = 60 °$ ,动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上,且 $\overset{⇀}{B E} = λ \overset{⇀}{B C}$ , $\overset{⇀}{D F} = \frac{1}{9 λ} \overset{⇀}{D C}$ ,则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{AF}$ 的最小值为.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}), x \in R$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期;
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（Ⅰ）设 $A$ 为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件 $A$ 发生的概率；
（Ⅱ）设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ , $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2, A D = C D = \sqrt{5}$ ,且点M和N分别为 $B_{1} C 和 D_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ ( $q 为实数，且 q \neq 1$ ), $n \in N^{*}$ , $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ , $a_{3} + a_{4}$ , $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求 $q$ 的值和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}}$ , $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c$ ， $|F M| = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求直线 $F M$ 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $F P$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$ （ $O$ 为原点）的斜率的取值范围.

已知函数 $f (x) = n x - x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}, n \geq 2$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；
（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数）有两个正实根 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2$