2015年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）-优题课

已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ,集合 $A = \{2, 3, 5\}$ ,集合 $B = \{1, 3, 4, 6\}$ ,则集合 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A．

\{3\}

B．

\{2, 5\}

C．

\{1, 4, 6\}

D．

\{2, 3, 5\}

设变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + 2 y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ ,则目标函数 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A．

7

B．

8

C．

9

D．

14

阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 $i$ 的值为（）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

设 $x \in R$ ,则" $1 < x < 2$ "是" $|x - 2| < 1$ "的（）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > o, b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2, 0)$ ,且双曲线的渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 相切,则双曲线的方程为（）

A．

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{13} = 1

B．

\frac{x^{2}}{13} - \frac{y^{2}}{9} = 1

C．

\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1

D．

x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1

如图,在圆 $O$ 中, $M, N$ 是弦 $A B$ 的三等分点,弦 $C D, C E$ 分别经过点 $M, N$ ,若 $C M = 2, M D = 4, C N = 3$ ,则线段 $N E$ 的长为（）

A．

\frac{8}{3}

B．

3

C．

\frac{10}{3}

D．

\frac{5}{2}

已知定义在 $R$ 上的函数 $f ((x) = 2^{|x - m|} - 1 (m 为实数)$ 为偶函数,记 $a = f (\log_{0.5} 3)$ , $b = f (\log_{2} 5)$ , $c = f (2 m)$ 则 $a, b, c$ ,的大小关系为（）

A．

a < b < c

B．

c < a < b

C．

a < c < b

D．

c < b < a

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 - |x| & x \leq 2 \\ {(x - 2)}^{2} & x > 2 \end{cases}$ ,函数 $g (x) = 3 - f (2 - x)$ ,则函数 $y = f (x) - g (x)$ 的零点的个数为（）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

$i$ 是虚数单位,计算 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ 的结果为．

一个几何体的三视图如图所示（单位: $m$ ）,则该几何体的体积为 $m^{3}$ .

已知函数 $f (x) = a x \ln x, x \in (0, + \infty)$ ,其中 $a$ 为实数, $f^{`} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数,若 $f^{`} (1) = 3$ ,则 $a$ 的值为．

已知 $a > 0, b > 0, a b = 8$ 则当 $a$ 的值为时 $\log_{2} a \cdot \log_{2} (2 b)$ 取得最大值.

在等腰梯形 $A B C D$ 中,已知 $A B ∥ D C$ , $A B = 2, B C = 1, ∠ A B C = 60^{°}$ ,点 $E$ 和点 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $C D$ 上,且 $\overset{⇀}{B E} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{B C}, \overset{⇀}{D F} = \frac{1}{6} \overset{⇀}{D C}$ .则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ 的值为．

已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ , $x \in R$ ,若函数 $f (x)$ 在区间 $(- ω, ω)$ 内单调递增,且函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = ω$ 对称,则 $ω$ 的值为．

设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
   （i）用所给编号列出所有可能的结果;
   （ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有一人被抽到",求事件A发生的概率.

$△ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ , $b - c = 2$ , $\cos A = - \frac{1}{4}$ .
（Ⅰ）求 $a$ 和 $\sin C$ 的值;
（Ⅱ）求 $\cos (2 A + \frac{π}{6})$  的值.

如图,已知 $A A_{1} ⊥ 平面 A B C$ , $B B_{1} / / A A_{1}$ , $A B = A C = 3$ $B C = 2 \sqrt{5}$ , $A A_{1} = \sqrt{7}$ , $B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ,点 $E, F$ 分别是 $B C, A_{1} C$ 的中点.

（Ⅰ）求证: $E F / / 平面 A_{1} B_{1} B A$ ;
（Ⅱ）求证:平面 $A E A_{1} ⊥ 平面 B C B_{1}$ .
（Ⅲ）求直线 $A_{1} B_{1}$  与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小.

已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列, $\{b n\}$ 是等差数列,且 $a_{1} = b_{1} = 1, b_{2} + b_{3} = 2 a_{3}, a_{5} - 3 b_{2} = 7$ .
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b n\}$ 的通项公式;
（Ⅱ）设 $c_{n} = a_{n} b_{n}, n \in N^{*}$ ,求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ,左焦点为 $F$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,
（Ⅰ）求直线 $B F$ 的斜率;
（Ⅱ）设直线 $B F$ 与椭圆交于点 $P$ ( $P$ 异于点 $B$ ),过点 $B$ 且垂直于 $B P$ 的直线与椭圆交于点 $Q$ （ $Q$ 异于点 $B$ ）直线 $P Q$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ , $|P M| = l |M Q|$ .
（ⅰ）求 $l$ 的值;
（ⅱ）若 $|P M| \sin ∠ B Q P = \frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ,求椭圆的方程.

已知函数 $f (x) = 4 x - x^{2}, x \in R$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ,曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证:对于任意的正实数 $x$ ,都有 $f (x) \leq g (x)$ ;
（Ⅲ）若方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数)有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ,求证: $x_{2} - x_{1} < - \frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$ .