2015年全国统一高考理科数学试卷（浙江卷）-优题课

已知集合 $P = \{x x^{2} - 2 x \geq 0\}$ ， $Q = \{x 1 \leq x \leq 2\}$ ，则 $(C_{R} P) \cap Q$ =（）

A．

[0, 1)

B．

(0, 2]

C．

(1, 2)

D．

[1, 2]

某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积是（）

A．

8 c m^{3}

B．

12 c m^{3}

C．

\frac{32}{3} c m^{3}

D．

\frac{40}{3} c m^{3}

已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，公差 $d$ 不为零，前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列，则（）

A．	$a_{1} d > 0, d S_{4} > 0$	B．	$a_{1} d < 0, d S_{4} < 0$
C．	$a_{1} d > 0, d S_{4} < 0$	D．	$a_{1} d < 0, d S_{4} > 0$

命题" $\forall n \in N^{+}, f (n) \in N^{+}$ 且 $f (n) \leq n$ 的否定形式是（）

A．	$\forall n \in N^{+}, f (n) \in N^{+}$ 且 $f (n) > n$
B．	$\forall n \in N^{+}, f (n) \in N^{+}$ 或 $f (n) > n$
C．	$\exists n_{0} \in N^{+}, f (n_{0}) \in N^{+}$ 且 $f (n_{0}) > n_{0}$
D．	$\exists n_{0} \in N^{+}, f (n_{0}) \in N^{+}$ 或 $f (n_{0}) > n_{0}$

如图，设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 $A, B, C$ ，其中点 $A, B$ 在抛物线上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，则 $△ B C F$ 与 $△ A C F$ 的面积之比是（）

A．

\frac{|B F| - 1}{|A F| - 1}

B．

\frac{{|B F|}^{2} - 1}{{|A F|}^{2} - 1}

C．

\frac{|B F| + 1}{|A F| + 1}

D．

\frac{{|B F|}^{2} + 1}{{|A F|}^{2} + 1}

设 $A$ ， $B$ 是有限集，定义 $d (A, B) = c a r d (A \cup B) - c a r d (A \cap B)$ ，其中 $c a r d (A)$ 表示有限集 $A$ 中的元素个数，命题①：对任意有限集 $A$ ， $B$ ，" $A \neq B$ "是" $d (A < B) > 0$

命题②：对任意有限集 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $d (A, C) \leq d (A, B) + d (B, C)$ ，（）

A．	命题①和命题②都成立
B．	命题①和命题②都不成立
C．	命题①成立，命题②不成立
D．	命题①不成立，命题②成立

存在函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in R$ 都有（）

A．	$f (\sin 2 x) = \sin x$	B．	$f (\sin 2 x) = x^{2} + x$
C．	$f (x^{2} + 1) = \|x + 1\|$	D．	$f (x^{2} + 2 x) = \|x + 1\|$

如图，已知 $△ A B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，沿直线 $C D$ 将 $△ A C D$ 折成 $△ A ` C D$ ，所成二面角 $A ` - C D - B$ 的平面角为 $α$ ，则（）

A．

∠ A ` D B \leq α

B．

∠ A ` D B \geq α

C．

∠ A ` C B \leq α

D．

∠ A ` C B \leq α

双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦距是，渐近线方程是．

已知函数 $f （ x) = \{\begin{cases} x + \frac{2}{x} - 3, x \geq 1 \\ l g (x^{2} + 1), x < 1 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 3))) =$ ， $f (x)$ 的最小值是．

函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sin x \cos x + 1$ 的最小正周期是，单调递减区间是．

若 $a = \log_{4} 3$ ，则 $2^{a} + 2^{- a} =$ ．

如图，三棱锥 $A - B C D$ 中, $A B = A C = B D = C D = 3, A D = B C = 2$ ,点 $M, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中点,则异面直线 $A N, C M$ 所成的角的余弦值是．

若实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，则 $|2 x + y - 2| + |6 - x - 3 y|$ 的最小值是．

已知 $\overset{⇀}{e_{1}}, \overset{⇀}{e_{2}}$ 是空间单位向量， $\overset{⇀}{e_{1}} \cdot \overset{⇀}{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，若空间向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{e_{1}} = 2, \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{e_{2}} = \frac{5}{2}$ ，且对于任意 $x, y \in R$ ， $|\overset{⇀}{b} - (x \overset{⇀}{e_{1}} + y \overset{⇀}{e_{2}})| \geq |\overset{⇀}{b} - (x_{0} \overset{⇀}{e_{1}} + y_{0} \overset{⇀}{e_{2}}| = 1, (x_{0}, y_{0} \in R)$ ，则 $x_{0} =$ ， $y_{0} =$ ， $|\overset{⇀}{b}| =$ ．

在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ .

（1）求 $\tan C$ 的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $7$ ，求 $b$ 的值.

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ -中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

（1）证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；
（2）求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，记 $M (a, b)$ 是 $|f (x)|$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值.
（1）证明：当 $|a| \geq 2$ 时， $M (a, b) \geq 2$ ；
（2）当 $a$ , $b$ 满足 $M (a, b) \leq 2$ ，求 $|a| + |b|$ 的最大值.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同的点 $A, B$ 关于直线 $y = m x + \frac{1}{2}$ 对称．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）求 $△ A O B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ =且 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n}^{2} (n \in N *)$
（1）证明： $1 \leq \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \leq 2 (n \in N *)$ ；
（2）设数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明 $\frac{1}{2 (n + 2)} \leq \frac{S_{n}}{n} \leq \frac{1}{2 (n + 1)} (n \in N *)$