2015年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）-优题课

若集合 $M = \{x | (x + 4) (x + 1) = 0\}, N = \{x | (x ﹣ 4) (x ﹣ 1 =) 0\}$ ,则 $M \cap N =$ （）

A．

\{1, 4\}

B．

\{- 1, - 4\}

C．

\{0\}

D．

\emptyset

若复数 $z = i (3 - 2 i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ =（）

A．

2﹣3

i

B．

2+3

i

C．

3+2

i

D．

3﹣2

i

下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A．

y = \sqrt{1 + x^{2}}

B．

y = x + \frac{1}{x}

C．

y = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}

D．

y = x + e^{x}

袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

A．

\frac{5}{21}

B．

\frac{10}{21}

C．

\frac{11}{21}

D．

1

平行于直线 $2 x + y + 1 = 0$ 且与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切的直线的方程是（）

A．	$2 x + y + 5 = 0$ 或 $2 x + y - 5 = 0$	B．	$2 x + y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x + y - \sqrt{5} = 0$
C．	$2 x ﹣ y + 5 = 0$ 或 $2 x - y - 5 = 0$	D．	$2 x - y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x - y - \sqrt{5} = 0$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 4 x + 5 y \geq 8 \\ 1 \leq x \leq 3 \\ 0 \leq y \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A．

4

B．

\frac{23}{5}

C．

6

D．

\frac{31}{5}

已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率 $e = \frac{5}{4}$ ，且其右焦点为 $F_{2}$ $(5, 0)$ ，则双曲线（）

A．

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1

B．

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1

C．

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1

D．

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1

若空间中 $n$ 个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$ 的取值（）

A．

至多等于3

B．

至多等于4

C．

等于5

D．

大于5

在 ${(\sqrt{x} - 1)}^{4}$ 的展开式中, $x$ 的系数为．

在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 25$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ ．

设 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $a = \sqrt{3}, \sin B = \frac{1}{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $b =$ ．

某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）

已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (x) = 30$ ， $D (x) = 20$ ，则 $P =$ ．

已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，点 $A$ 的极坐标为 $A (2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为．

如图,已知 $A B$ 是圆 $O$ 的直径, $A B = 4$ , $E C$ 是圆 $O$ 的切线,切点为 $C$ , $B C = 1$ .过圆心 $O$ 作 $B C$ 的的平行线，分别交 $E C$ 和 $A C$ 于点 $D$ 和点 $P$ ，则 $O D =$ ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\overset{⇀}{π} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}), \overset{⇀}{n} = (\sin x, \cos x), x \in (0, \frac{π}{2})$ ．

（1）若 $\overset{⇀}{π} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，求 $\tan x$ 的值；
（2）若 $\overset{⇀}{π}$ 与 $\overset{⇀}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $x$ 的值．

某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}$ ﹣ $s$ 和 $\bar{x}$ + $s$ 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 $0.01 %$ ）？

如图，三角形 $△ P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 、 $G$ 分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上，且 $A F = 2 F B$ ， $C G = 2 G B$ ．

（1）证明： $P E ⊥ F G$ ；
（2）求二面角 $P - A D - C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

设 $a ＞ 1$ ，函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - a$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上仅有一个零点；
（3）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M (m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行，（ $O$ 是坐标原点），证明： $m \leq \sqrt[3]{a - \frac{2}{e}} ﹣ 1$ ．

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L : y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

数列 $\{a_{n}\}$ 足： $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}, n \in N^{+}$ ．
（1）求 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
（3）令 $b_{1} = a_{1}, b_{n} = \frac{T_{n} - 1}{n} + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) a_{n} (n \geq 2)$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} < 2 + 2 \ln n$ ．