2017年山东省济南市中考数学试卷-优题课

在实数0， $- 2$ ， $\sqrt{5}$ ，3中，最大的是 $($ 　　 $)$

A．0B．2C． $\sqrt{5}$ D．3

如图所示的几何体，它的左视图是 $($ 　　 $)$

A．B．

C．D．

2017年5月5日国产大型客机 $C 919$ 首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A． $0.555 \times 10^{4}$ B． $5.55 \times 10^{3}$ C． $5.55 \times 10^{4}$ D． $55.5 \times 10^{3}$

如图，直线 $a / / b$ ，直线 $l$ 与 $a$ ， $b$ 分别相交于 $A$ ， $B$ 两点， $AC ⊥ AB$ 交 $b$ 于点 $C$ ， $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A． $40 °$ B． $45 °$ C． $50 °$ D． $60 °$

中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是 $($ 　　 $)$

A．

B．

C．

D．

化简 $\frac{a^{2} + ab}{a - b} \div \frac{ab}{a - b}$ 的结果是 $($ 　　 $)$

A． $a^{2}$ B． $\frac{a^{2}}{a - b}$ C． $\frac{a - b}{b}$ D． $\frac{a + b}{b}$

关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 5 x + m = 0$ 的一个根为 $- 2$ ，则另一个根是 $($ 　　 $)$

A． $- 6$ B． $- 3$ C．3D．6

《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，以下列出的方程组正确的是 $($ 　　 $)$

A． $\{\begin{matrix} y - 8 x = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{matrix}$ B． $\{\begin{matrix} y - 8 x = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{matrix}$

C． $\{\begin{matrix} 8 x - y = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{matrix}$ D． $\{\begin{matrix} 8 x - y = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{matrix}$

如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定 $A$ 和 $B$ 为入口， $C$ ， $D$ ， $E$ 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 $A$ 入口进入、从 $C$ ， $D$ 出口离开的概率是 $($ 　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$ B． $\frac{1}{3}$ C． $\frac{1}{6}$ D． $\frac{2}{3}$

把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， $∠ CAB = 60 °$ ，若量出 $AD = 6 cm$ ，则圆形螺母的外直径是 $($ 　　 $)$

A． $12 cm$ B． $24 cm$ C． $6 \sqrt{3} cm$ D． $12 \sqrt{3} cm$

将一次函数 $y = 2 x$ 的图象向上平移2个单位后，当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A． $x > - 1$ B． $x > 1$ C． $x > - 2$ D． $x > 2$

如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5 m$ 的竹竿 $AC$ 斜靠在石坝旁，量出杆长 $1 m$ 处的 $D$ 点离地面的高度 $DE = 0.6 m$ ，又量得杆底与坝脚的距离 $AB = 3 m$ ，则石坝的坡度为 $($ 　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$ B．3C． $\frac{3}{5}$ D．4

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AB = 3 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $OC$ 上一点， $OE = 1$ ，连接 $BE$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ 于点 $F$ ，与 $BD$ 交于点 $G$ ，则 $BF$ 的长是 $($ 　　 $)$

A． $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ B． $2 \sqrt{2}$ C． $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ D． $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 2, 0)$ ， $(x_{0}$ ， $0)$ ， $1 < x_{0} < 2$ ，与 $y$ 轴的负半轴相交，且交点在 $(0, - 2)$ 的上方，下列结论：① $b > 0$ ；② $2 a < b$ ；③ $2 a - b - 1 < 0$ ；④ $2 a + c < 0$ ．其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图1，有一正方形广场 $ABCD$ ，图形中的线段均表示直行道路， $\hat{BD}$ 表示一条以 $A$ 为圆心，以 $AB$ 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的 $A$ 处有一路灯， $O$ 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为 $x$ $(m)$ 时，相应影子的长度为 $y$ $(m)$ ，根据他步行的路线得到 $y$ 与 $x$ 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是 $($ 　　 $)$

A． $A \to B \to E \to G$ B． $A \to E \to D \to C$ C． $A \to E \to B \to F$ D． $A \to B \to D \to C$

分解因式： $x^{2} - 4 x + 4 =$ 　　．

计算： $| - 2 - 4 | + {(\sqrt{3})}^{0} =$ 　　．

在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是　　．

如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形 $ABC$ 的面积为 $300 πc m^{2}$ ， $∠ BAC = 120 °$ ， $BD = 2 AD$ ，则 $BD$ 的长度为　　 $cm$ ．

如图，过点 $O$ 的直线 $AB$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $A (2, 1)$ ，直线 $BC / / y$ 轴，与反比例函数 $y = \frac{- 3 k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $AC$ ，则 $ΔABC$ 的面积为　　．

定义：在平面直角坐标系 $xOy$ 中，把从点 $P$ 出发沿纵或横方向到达点 $Q$ （至多拐一次弯）的路径长称为 $P$ ， $Q$ 的“实际距离”．如图，若 $P (- 1, 1)$ ， $Q (2, 3)$ ，则 $P$ ， $Q$ 的“实际距离”为5，即 $PS + SQ = 5$ 或 $PT + TQ = 5$ ．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个小区的坐标分别为 $A (3, 1)$ ， $B (5, - 3)$ ， $C (- 1, - 5)$ ，若点 $M$ 表示单车停放点，且满足 $M$ 到 $A$ ， $B$ ， $C$ 的“实际距离”相等，则点 $M$ 的坐标为　　．

（1）先化简，再求值： ${(a + 3)}^{2} - (a + 2) (a + 3)$ ，其中 $a = 3$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 5 ⩾ 2 (x - 2) & ① \\ \frac{x}{2} > x - 1 & ② \end{matrix}$ ．

如图，在矩形 $ABCD$ ， $AD = AE$ ， $DF ⊥ AE$ 于点 $F$ ．求证： $AB = DF$ ．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ACD = 25 °$ ，求 $∠ BAD$ 的度数．

某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？

中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：

本数（本 $)$	频数（人数）	频率
5	$a$	0.2
6	18	0.36
7	14	$b$
8	8	0.16
合计	$c$	1

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．

如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $OC = 3$ ， $A (2, 1)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过的 $B$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $O$ 和点 $B$ 关于直线 $MN$ 成轴对称，求线段 $ON$ 的长；

（3）如图3，将线段 $OA$ 延长交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $D$ ，过 $B$ ， $D$ 的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $E$ ， $F$ 两点，请探究线段 $ED$ 与 $BF$ 的数量关系，并说明理由．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ， $∠ CAB = ∠ EAD = 60 °$ ，点 $E$ ， $A$ ， $C$ 在同一条直线上，连接 $BD$ ，点 $F$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EF$ ， $CF$ ，试判断 $ΔCEF$ 的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $ΔCEF$ 的两条边是否相等，如 $EF = CF$ ，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $EF$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ．

$∵ F$ 是 $BD$ 的中点，

$∴ BF = DF$ ．

$∵ ∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，

$∴ ED / / CG$ ．

$∴ ∠ BGF = ∠ DEF$ ．

又 $∵ ∠ BFG = ∠ DFE$ ，

$∴ ΔBGF ≅ ΔDEF ($ 　 $AAS$ 　 $)$ ．

$∴ EF = FG$ ．

$∴ CF = EF = \frac{1}{2} EG$ ．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $SAS$ ， $ASA$ ， $AAS$ ， $SSS$ 中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $∠ CEF$ 的度数，并判断 $ΔCEF$ 的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转某个角度时，连接 $CE$ ，延长 $DE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$ ，其他条件不变，判断 $ΔCEF$ 的形状并给出证明．

如图1，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(4, 0)$ ， $(0, 6)$ ，直线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $\tan ∠ OAD = 2$ ，抛物线 $M_{1} : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过 $A$ ， $D$ 两点．

（1）求点 $D$ 的坐标和抛物线 $M_{1}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线 $M_{1}$ 对称轴上一动点，当 $∠ CPA = 90 °$ 时，求所有符合条件的点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E (0, 4)$ ，连接 $AE$ ，将抛物线 $M_{1}$ 的图象向下平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $M_{2}$ ．

①设点 $D$ 平移后的对应点为点 $D'$ ，当点 $D'$ 恰好在直线 $AE$ 上时，求 $m$ 的值；

②当 $1 ⩽ x ⩽ m (m > 1)$ 时，若抛物线 $M_{2}$ 与直线 $AE$ 有两个交点，求 $m$ 的取值范围．