2020年四川省凉山州中考数学试卷-优题课

$- 1^{2020} = ($ 　　 $)$

A．1B． $- 1$ C．2020D． $- 2020$

如图，下列几何体的左视图不是矩形的是 $($ 　　 $)$

A．B．C．D．

点 $P$ $(2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点 $P^{'}$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A． $(2, - 3)$ B． $(- 2, 3)$ C． $(- 2, - 3)$ D． $(3, 2)$

已知一组数据1，0，3， $- 1$ ， $x$ ，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是 $($ 　　 $)$

A． $- 1$ B．3C． $- 1$ 和3D．1和3

一元二次方程 $x^{2} = 2 x$ 的根为 $($ 　　 $)$

A． $x = 0$ B． $x = 2$ C． $x = 0$ 或 $x = 2$ D． $x = 0$ 或 $x = - 2$

下列等式成立的是 $($ 　　 $)$

A． $\sqrt{81} = \pm 9$ B． $| \sqrt{5} - 2 | = - \sqrt{5} + 2$

C． ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} = - 2$ D． ${(\tan 45 ° - 1)}^{0} = 1$

若一次函数 $y = (2 m + 1) x + m - 3$ 的图象不经过第二象限，则 $m$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A． $m > - \frac{1}{2}$ B． $m < 3$ C． $- \frac{1}{2} < m < 3$ D． $- \frac{1}{2} < m ⩽ 3$

点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点，点 $D$ 是线段 $AC$ 的三等分点．若线段 $AB = 12 cm$ ，则线段 $BD$ 的长为 $($ 　　 $)$

A． $10 cm$ B． $8 cm$ C． $10 cm$ 或 $8 cm$ D． $2 cm$ 或 $4 cm$

下列命题是真命题的是 $($ 　　 $)$

A．顶点在圆上的角叫圆周角

B．三点确定一个圆

C．圆的切线垂直于半径

D．三角形的内心到三角形三边的距离相等

如图所示， $ΔABC$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $\tan A$ 的值为 $($ 　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$ B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C．2D． $2 \sqrt{2}$

如图，等边三角形 $ABC$ 和正方形 $ADEF$ 都内接于 $⊙ O$ ，则 $AD : AB = ($ 　　 $)$

A． $2 \sqrt{2} : \sqrt{3}$ B． $\sqrt{2} : \sqrt{3}$ C． $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ D． $\sqrt{3} : 2 \sqrt{2}$

二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象如图所示，有如下结论：

① $abc > 0$ ；

② $2 a + b = 0$ ；

③ $3 b - 2 c < 0$ ；

④ $a m^{2} + bm ⩾ a + b (m$ 为实数）．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

函数 $y = \sqrt{x + 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是　　．

因式分解： $a^{3} - a b^{2} =$ 　　．

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $OE / / AB$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，若 $OA = 1$ ， $ΔAOE$ 的周长等于5，则 $▱ ABCD$ 的周长等于　　．

如图，点 $C$ 、 $D$ 分别是半圆 $AOB$ 上的三等分点，若阴影部分的面积是 $\frac{3}{2} π$ ，则半圆的半径 $OA$ 的长为　　．

如图，矩形 $OABC$ 的面积为 $\frac{100}{3}$ ，对角线 $OB$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 相交于点 $D$ ，且 $OB : OD = 5 : 3$ ，则 $k$ 的值为　　．

解方程： $x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2 x - 1}{3}$ ．

化简求值： $(2 x + 3) (2 x - 3) - {(x + 2)}^{2} + 4 (x + 3)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

如图，一块材料的形状是锐角三角形 $ABC$ ，边 $BC = 120 mm$ ，高 $AD = 80 mm$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $BC$ 上，其余两个顶点分别在 $AB$ 、 $AC$ 上，这个正方形零件的边长是多少？

某校团委在“五 $\cdot$ 四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．

（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　　件；在扇形统计图中表示 $C$ 班的扇形的圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）第一批评比中， $A$ 班 $D$ 班各有一件、 $B$ 班 $C$ 班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．

如图， $AB$ 是半圆 $AOB$ 的直径， $C$ 是半圆上的一点， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交半圆于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 与 $AC$ 的延长线交于点 $H$ ．

（1）求证： $DH$ 是半圆的切线；

（2）若 $DH = 2 \sqrt{5}$ ， $\sin ∠ BAC = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求半圆的直径．

若不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x < 3 (x - 3) + 1 \\ \frac{3 x + 2}{4} > x + a \end{matrix}$ 恰有四个整数解，则 $a$ 的取值范围是　 $- \frac{11}{4} ⩽ a < - \frac{5}{2}$ 　．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AD = 12$ ， $AB = 8$ ， $E$ 是 $AB$ 上一点，且 $EB = 3$ ， $F$ 是 $BC$ 上一动点，若将 $ΔEBF$ 沿 $EF$ 对折后，点 $B$ 落在点 $P$ 处，则点 $P$ 到点 $D$ 的最短距离为　　．

如图，点 $P$ 、 $Q$ 分别是等边 $ΔABC$ 边 $AB$ 、 $BC$ 上的动点（端点除外），点 $P$ 、点 $Q$ 以相同的速度，同时从点 $A$ 、点 $B$ 出发．

（1）如图1，连接 $AQ$ 、 $CP$ ．求证： $ΔABQ ≅ ΔCAP$ ；

（2）如图1，当点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 边上运动时， $AQ$ 、 $CP$ 相交于点 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$ 、 $Q$ 在 $AB$ 、 $BC$ 的延长线上运动时，直线 $AQ$ 、 $CP$ 相交于 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

如图，已知直线 $l : y = - x + 5$ ．

（1）当反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内至少有一个交点时，求 $k$ 的取值范围．

（2）若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内相交于点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，当 $x_{2} - x_{1} = 3$ 时，求 $k$ 的值，并根据图象写出此时关于 $x$ 的不等式 $- x + 5 < \frac{k}{x}$ 的解集．

如图， $⊙ O$ 的半径为 $R$ ，其内接锐角三角形 $ABC$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．

（1）求证： $\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} = 2 R$ ；

（2）若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $BC = 4 \sqrt{3}$ ，利用（1）的结论求 $AB$ 的长和 $\sin ∠ B$ 的值．

如图，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象过 $O (0, 0)$ 、 $A (1, 0)$ 、 $B (\frac{3}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ 三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 $OB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与二次函数的图象在 $x$ 轴上方的部分相交于点 $D$ ，求直线 $CD$ 的解析式；

（3）在直线 $CD$ 下方的二次函数的图象上有一动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴，交直线 $CD$ 于 $Q$ ，当线段 $PQ$ 的长最大时，求点 $P$ 的坐标．