2017年四川省乐山市中考数学试卷-优题课

$- 2$ 的倒数是 $($ 　　 $)$

A． $- \frac{1}{2}$ B． $\frac{1}{2}$ C．2D． $- 2$

随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A． $1.2 \times 10^{9}$ B． $12 \times 10^{7}$ C． $0.12 \times 10^{9}$ D． $1.2 \times 10^{8}$

下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

A．B．

C．D．

含 $30 °$ 角的直角三角板与直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的位置关系如图所示，已知 $l_{1} / / l_{2}$ ， $∠ ACD = ∠ A$ ，则 $∠ 1 = ($ 　　 $)$

A． $70 °$ B． $60 °$ C． $40 °$ D． $30 °$

下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．打开电视，它正在播广告是必然事件

B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查

C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确

D．甲、乙两人射中环数的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 2$ ， $S_{乙}^{2} = 4$ ，说明乙的射击成绩比甲稳定

若 $a^{2} - ab = 0 (b \neq 0)$ ，则 $\frac{a}{a + b} = ($ 　　 $)$

A．0B． $\frac{1}{2}$ C．0或 $\frac{1}{2}$ D．1或 2

如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的， $AB = CD = 0.25$ 米， $BD = 1.5$ 米，且 $AB$ 、 $CD$ 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 $($ 　　 $)$

A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米

已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则下列三个等式：① $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7$ ，② $x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ ，③ $2 x^{2} - 6 x = - 2$ 中，正确的个数有 $($ 　　 $)$

A．0个B．1个C．2个D．3个

已知二次函数 $y = x^{2} - 2 mx (m$ 为常数），当 $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ 时，函数值 $y$ 的最小值为 $- 2$ ，则 $m$ 的值是 $($ 　　 $)$

A． $\frac{3}{2}$ B． $\sqrt{2}$ C． $\frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D． $- \frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$

如图，平面直角坐标系 $xOy$ 中，矩形 $OABC$ 的边 $OA$ 、 $OC$ 分别落在 $x$ 、 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(6, 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象与 $AB$ 边交于点 $D$ ，与 $BC$ 边交于点 $E$ ，连接 $DE$ ，将 $ΔBDE$ 沿 $DE$ 翻折至△ $B^{'} DE$ 处，点 $B^{'}$ 恰好落在正比例函数 $y = kx$ 图象上，则 $k$ 的值是 $($ 　　 $)$

A． $- \frac{2}{5}$ B． $- \frac{1}{21}$ C． $- \frac{1}{5}$ D． $- \frac{1}{24}$

$3^{- 2} =$ 　 $\frac{1}{9}$ 　．

二元一次方程组 $\frac{x + y}{2} = \frac{2 x - y}{3} = x + 2$ 的解是　　．

如图，直线 $a$ 、 $b$ 垂直相交于点 $O$ ，曲线 $C$ 关于点 $O$ 成中心对称，点 $A$ 的对称点是点 $A^{'}$ ， $AB ⊥ a$ 于点 $B$ ， $A^{'} D ⊥ b$ 于点 $D$ ．若 $OB = 3$ ， $OD = 2$ ，则阴影部分的面积之和为　　．

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 $C$ 到线段 $AB$ 所在直线的距离是　　．

庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言） $: 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} + \dots$ ．

图2也是一种无限分割：在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，过点 $C$ 作 $C C_{1} ⊥ AB$ 于点 $C_{1}$ ，再过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} C_{2} ⊥ BC$ 于点 $C_{2}$ ，又过点 $C_{2}$ 作 $C_{2} C_{3} ⊥ AB$ 于点 $C_{3}$ ，如此无限继续下去，则可将利 $ΔABC$ 分割成 $ΔAC C_{1}$ 、△ $C C_{1} C_{2}$ 、△ $C_{1} C_{2} C_{3}$ 、△ $C_{2} C_{3} C_{4}$ 、 $\dots$ 、△ $C_{n - 2} C_{n - 1} C_{n}$ 、 $\dots$ ．假设 $AC = 2$ ，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　　．

对于函数 $y = x^{n} + x^{m}$ ，我们定义 $y^{'} = n x^{n - 1} + m x^{m - 1} (m$ 、 $n$ 为常数）．

例如 $y = x^{4} + x^{2}$ ，则 $y^{'} = 4 x^{3} + 2 x$ ．

已知： $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + m^{2} x$ ．

（1）若方程 $y' = 0$ 有两个相等实数根，则 $m$ 的值为　　；

（2）若方程 $y' = m - \frac{1}{4}$ 有两个正数根，则 $m$ 的取值范围为　　．

计算： $2 \sin 60 ° + | 1 - \sqrt{3} | + 2017^{0} - \sqrt{27}$ ．

求不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 1 < 3 x \\ \frac{x + 1}{5} - \frac{x - 2}{2} ⩾ 0 \end{matrix}$ 的所有整数解．

如图，延长 $▱ ABCD$ 的边 $AD$ 到 $F$ ，使 $DF = DC$ ，延长 $CB$ 到点 $E$ ，使 $BE = BA$ ，分别连接点 $A$ 、 $E$ 和 $C$ 、 $F$ ．求证： $AE = CF$ ．

化简： $(\frac{2 a^{2} + 2 a}{a^{2} - 1} - \frac{a^{2} - a}{a^{2} - 2 a + 1}) \div \frac{2 a}{a - 1}$ ．

为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：

组别	分数段（分 $)$	频数	频率
$A$ 组	$60 ⩽ x < 70$	30	0.1
$B$ 组	$70 ⩽ x < 80$	90	$n$
$C$ 组	$80 ⩽ x < 90$	$m$	0.4
$D$ 组	$90 ⩽ x < 100$	60	0.2

（1）在表中： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　　组；

（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中 $A$ 、 $C$ 两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．

如图，在水平地面上有一幢房屋 $BC$ 与一棵树 $DE$ ，在地面观测点 $A$ 处测得屋顶 $C$ 与树梢 $D$ 的仰角分别是 $45 °$ 与 $60 °$ ， $∠ CAD = 60 °$ ，在屋顶 $C$ 处测得 $∠ DCA = 90 °$ ．若房屋的高 $BC = 6$ 米，求树高 $DE$ 的长度．

某公司从2013年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：

年度	2013	2014	2015	2016
投入技改资金 $x$ （万元）	2.5	3	4	4.5
产品成本 $y$ （万元 $/$ 件）	7.2	6	4.5	4

（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；

（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．

①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？

②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．

如图，以 $AB$ 边为直径的 $⊙ O$ 经过点 $P$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $PC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，且 $∠ ACP = 60 °$ ， $PA = PD$ ．

（1）试判断 $PD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$ 是弧 $AB$ 的中点，已知 $AB = 4$ ，求 $CE \cdot CP$ 的值．

在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ．

（1）如图1，若 $∠ DAB = 120 °$ ，且 $∠ B = 90 °$ ，试探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $∠ B = 90 °$ ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $∠ DAB = 90 °$ ，探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

如图1，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} + ax$ 与 $C_{2} : y = - x^{2} + bx$ 相交于点 $O$ 、 $C$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 分别交 $x$ 轴于点 $B$ 、 $A$ ，且 $B$ 为线段 $AO$ 的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$ 的值；

（2）若 $OC ⊥ AC$ ，求 $ΔOAC$ 的面积；

（3）抛物线 $C_{2}$ 的对称轴为 $l$ ，顶点为 $M$ ，在（2）的条件下：

①点 $P$ 为抛物线 $C_{2}$ 对称轴 $l$ 上一动点，当 $ΔPAC$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

②如图2，点 $E$ 在抛物线 $C_{2}$ 上点 $O$ 与点 $M$ 之间运动，四边形 $OBCE$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．