2016年浙江省杭州市中考数学试卷-优题课

$\sqrt{9} = ($ 　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

如图，已知直线 $a / / b / / c$ ，直线 $m$ 交直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，直线 $n$ 交直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{DE}{EF} = ($ 　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{2}{3}$ D．1

下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是 $($ 　　 $)$

A．B．

C．D．

如图是某市2016年四月每日的最低气温 $(^{°} C)$ 的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是 $($ 　　 $)$

A． $14^{°} C$ ， $14^{°} C$ B． $15^{°} C$ ， $15^{°} C$ C． $14^{°} C$ ， $15^{°} C$ D． $15^{°} C$ ， $14^{°} C$

下列各式变形中，正确的是 $($ 　　 $)$

A． $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ B． $\sqrt{x^{2}} = | x |$

C． $(x^{2} - \frac{1}{x}) \div x = x - 1$ D． $x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤 $x$ 吨到乙煤场，则可列方程为 $($ 　　 $)$

A． $518 = 2 (106 + x)$ B． $518 - x = 2 \times 106$

C． $518 - x = 2 (106 + x)$ D． $518 + x = 2 (106 - x)$

设函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象如图所示，若 $z = \frac{1}{y}$ ，则 $z$ 关于 $x$ 的函数图象可能为 $($ 　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，已知 $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 在圆周上（不与 $A$ 、 $C$ 重合），点 $D$ 在 $AC$ 的延长线上，连接 $BD$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $∠ AOB = 3 ∠ ADB$ ，则 $($ 　　 $)$

A． $DE = EB$ B． $\sqrt{2} DE = EB$ C． $\sqrt{3} DE = DO$ D． $DE = OB$

已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 $m$ 和 $n (m < n)$ ，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 $($ 　　 $)$

A． $m^{2} + 2 mn + n^{2} = 0$ B． $m^{2} - 2 mn + n^{2} = 0$ C． $m^{2} + 2 mn - n^{2} = 0$ D． $m^{2} - 2 mn - n^{2} = 0$

设 $a$ ， $b$ 是实数，定义 $@$ 的一种运算如下： $a @ b = {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}$ ，则下列结论：

①若 $a @ b = 0$ ，则 $a = 0$ 或 $b = 0$

② $a @ (b + c) = a @ b + a @ c$

③不存在实数 $a$ ， $b$ ，满足 $a @ b = a^{2} + 5 b^{2}$

④设 $a$ ， $b$ 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 $a = b$ 时， $a @ b$ 最大．

其中正确的是 $($ 　　 $)$

A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③

$\tan 60 ° =$ 　　．

已知一包糖果共有 5 种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是　　．

若整式 $x^{2} + k y^{2} (k$ 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则 $k$ 的值可以是　　（写出一个即可）．

在菱形 $ABCD$ 中， $∠ A = 30 °$ ，在同一平面内，以对角线 $BD$ 为底边作顶角为 $120 °$ 的等腰三角形 $BDE$ ，则 $∠ EBC$ 的度数为　　．

在平面直角坐标系中，已知 $A (2, 3)$ ， $B (0, 1)$ ， $C (3, 1)$ ，若线段 $AC$ 与 $BD$ 互相平分，则点 $D$ 关于坐标原点的对称点的坐标为　　．

已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x} = m$ 的解满足 $\{\begin{matrix} x - y = 3 - n \\ x + 2 y = 5 n \end{matrix} (0 < n < 3)$ ，若 $y > 1$ ，则 $m$ 的取值范围是　　．

计算 $6 \div (- \frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ ，方方同学的计算过程如下，原式 $= 6 \div (- \frac{1}{2}) + 6 \div \frac{1}{3} = - 12 + 18 = 6$ ．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆 $)$ 占当季汽车产量（辆 $)$ 百分比的统计图如图所示．根据统计图回答下列问题：

（1）若第一季度的汽车销售量为2100辆，求该季的汽车产量；

（2）圆圆同学说：“因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从 $75 %$ 降到 $50 %$ ，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说的对吗？为什么？

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $∠ AED = ∠ B$ ，射线 $AG$ 分别交线段 $DE$ ， $BC$ 于点 $F$ ， $G$ ，且 $\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}$ ．

（1）求证： $ΔADF ∽ ΔACG$ ；

（2）若 $\frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AF}{FG}$ 的值．

把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 $t$ （秒 $)$ 时该足球距离地面的高度 $h$ （米 $)$ 适用公式 $h = 20 t - 5 t^{2} (0 ⩽ t ⩽ 4)$ ．

（1）当 $t = 3$ 时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求 $t$ ；

（3）若存在实数 $t_{1}$ ， $t_{2} (t_{1} \neq t_{2})$ 当 $t = t_{1}$ 或 $t_{2}$ 时，足球距离地面的高度都为 $m$ （米 $)$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，已知四边形 $ABCD$ 和四边形 $DEFG$ 为正方形，点 $E$ 在线段 $DC$ 上，点 $A$ ， $D$ ， $G$ 在同一直线上，且 $AD = 3$ ， $DE = 1$ ，连接 $AC$ ， $CG$ ， $AE$ ，并延长 $AE$ 交 $CG$ 于点 $H$ ．

（1）求 $\sin ∠ EAC$ 的值．

（2）求线段 $AH$ 的长．

已知函数 $y_{1} = a x^{2} + bx$ ， $y_{2} = ax + b (ab \neq 0)$ ．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_{1}$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ，函数 $y_{2}$ 的图象过点 $(1, 2)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

（2）若函数 $y_{2}$ 的图象经过 $y_{1}$ 的顶点．

①求证： $2 a + b = 0$ ；

②当 $1 < x < \frac{3}{2}$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

在线段 $AB$ 的同侧作射线 $AM$ 和 $BN$ ，若 $∠ MAB$ 与 $∠ NBA$ 的平分线分别交射线 $BN$ ， $AM$ 于点 $E$ ， $F$ ， $AE$ 和 $BF$ 交于点 $P$ ．如图，点点同学发现当射线 $AM$ ， $BN$ 交于点 $C$ ；且 $∠ ACB = 60 °$ 时，有以下两个结论：

① $∠ APB = 120 °$ ；② $AF + BE = AB$ ．

那么，当 $AM / / BN$ 时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $∠ APB$ 的度数，写出 $AF$ ， $BE$ ， $AB$ 长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$ 为线段 $AE$ 上一点， $QB = 5$ ，若 $AF + BE = 16$ ，四边形 $ABEF$ 的面积为 $32 \sqrt{3}$ ，求 $AQ$ 的长．