2020年宁夏中考数学试卷-优题课

下列各式中正确的是 $($ 　　 $)$

A． $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B． $3 ab - 2 ab = 1$

C． $\frac{6 a^{2} + 1}{3 a} = 2 a + 1$ D． $a (a - 3) = a^{2} - 3 a$

小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2

C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.5

现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 $($ 　　 $)$

A． $\frac{1}{4}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{3}{5}$ D． $\frac{3}{4}$

如图摆放的一副学生用直角三角板， $∠ F = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $AB$ 与 $DE$ 相交于点 $G$ ，当 $EF / / BC$ 时， $∠ EGB$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A． $135 °$ B． $120 °$ C． $115 °$ D． $105 °$

如图，菱形 $ABCD$ 的边长为13，对角线 $AC = 24$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $CD$ 、 $BC$ 的中点，连接 $EF$ 并延长与 $AB$ 的延长线相交于点 $G$ ，则 $EG = ($ 　　 $)$

A．13B．10C．12D．5

如图，等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = \sqrt{2}$ ，以点 $C$ 为圆心画弧与斜边 $AB$ 相切于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积是 $($ 　　 $)$

A． $1 - \frac{π}{4}$ B． $\frac{π - 1}{4}$ C． $2 - \frac{π}{4}$ D． $1 + \frac{π}{4}$

如图，函数 $y_{1} = x + 1$ 与函数 $y_{2} = \frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $M (1, m)$ ， $N (- 2, n)$ ．若 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A． $x < - 2$ 或 $0 < x < 1$ B． $x < - 2$ 或 $x > 1$

C． $- 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 1$ D． $- 2 < x < 0$ 或 $x > 1$

如图2是图1长方体的三视图，若用 $S$ 表示面积， $S_{主} = a^{2}$ ， $S_{左} = a^{2} + a$ ，则 $S_{俯} = ($ 　　 $)$

A． $a^{2} + a$ B． $2 a^{2}$ C． $a^{2} + 2 a + 1$ D． $2 a^{2} + a$

分解因式： $3 a^{2} - 6 a + 3 =$ 　　．

若二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + k$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，则 $k$ 的取值范围是　　．

有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是　　．

我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 $ED = 1$ 寸，锯道长 $AB = 1$ 尺 $(1$ 尺 $= 10$ 寸）．问这根圆形木材的直径是　　寸．

如图，直线 $y = \frac{5}{2} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，把 $ΔAOB$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到△ $A_{1} O_{1} B$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标是　　．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 84 °$ ，分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} AB$ 的长为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 、 $N$ ，作直线 $MN$ 交 $AC$ 点 $D$ ；以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $BA$ 、 $BC$ 于点 $E$ 、 $F$ ，再分别以点 $E$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} EF$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $BP$ ，此时射线 $BP$ 恰好经过点 $D$ ，则 $∠ A =$ 　　度．

《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：

（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；

（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；

（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．

若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为　　．

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 $1)$ ，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为 $a$ ，较长直角边为 $b$ ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为　　．

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (1, 3)$ ， $B (4, 1)$ ， $C (1, 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴成轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）画出 $ΔABC$ 以点 $O$ 为位似中心，位似比为 $1 : 2$ 的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 5 - x ⩾ 3 (x - 1) ① \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 1 ② \end{matrix}$ ．

先化简，再求值： $(\frac{a + 1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2}) \div \frac{2}{a^{2} - 4}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品．如果购买 $A$ 种物品60件， $B$ 种物品45件，共需1140元；如果购买 $A$ 种物品45件， $B$ 种物品30件，共需840元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么 $A$ 种防疫物品最多购买多少件？

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AD$ 的中点，连接 $CE$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ．求证： $FA = AB$ ．

某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位： $m^{3})$ 和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：

日用水量 $/ m^{3}$	$0 ⩽ x < 0.1$	$0.1 ⩽ x < 0.2$	$0.2 ⩽ x < 0.3$	$0.3 ⩽ x < 0.4$	$0.4 ⩽ x < 0.5$
频数	0	4	2	4	10

使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：

日用水量 $/ m^{3}$	$0 ⩽ x < 0.1$	$0.1 ⩽ x < 0.2$	$0.2 ⩽ x < 0.3$	$0.3 ⩽ x < 0.4$
频数	2	6	8	4

（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $AC$ 上一点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，且 $CE$ 平分 $∠ ACB$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $DE$ ，若 $∠ A = 30 °$ ，求 $\frac{BE}{DE}$ ．

“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离 $y (m)$ 与步行时间 $x (\min)$ 之间的函数关系式如图中折线段 $AB - BC - CD$ 所示．

（1）小丽与小明出发　　 $\min$ 相遇；

（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．

①求小丽和小明步行的速度各是多少？

②计算出点 $C$ 的坐标，并解释点 $C$ 的实际意义．

如图（1）放置两个全等的含有 $30 °$ 角的直角三角板 $ABC$ 与 $DEF (∠ B = ∠ E = 30 °)$ ，若将三角板 $ABC$ 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$ 与点 $E$ 重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，如图（2）， $AB$ 与 $DF$ 、 $DE$ 分别交于点 $P$ 、 $M$ ， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $Q$ ，其中 $AC = DF = \sqrt{3}$ ，设三角板 $ABC$ 移动时间为 $x$ 秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$ 的代数式表示 $ΔAMQ$ 的面积；

（2）计算 $x$ 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？