2016年全国统一高考数学试卷（全国Ⅲ卷理科数学试卷）

设集合 $S=\left\{x\right|(x-2)(x-3)⩾0\}$ ， $T=\left\{x\right|x>0\}$ ，则 $S\cap T=($ 　　 $)$

若 $z=1+2i$ ，则 $\frac{4i}{z·\bar{z}-1}=($ 　　 $)$

已知向量 $\overrightarrow{\mathit{BA}}=(\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\overrightarrow{\mathit{BC}}=(\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2})$ ，则 $\angle \mathit{ABC}=($ 　　 $)$

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 $A$ 点表示十月的平均最高气温约为 ${15}^{°}\text{C}$ ， $B$ 点表示四月的平均最低气温约为 $5^{°}\text{C}$ ，下面叙述不正确的是 $($ 　　 $)$

若 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ ，则 ${\cos }^2\alpha +2\sin 2\alpha =($ 　　 $)$

已知 $a=2^{\frac{4}{3}}$ ， $b=4^{\frac{2}{5}}$ ， $c={25}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $($ 　　 $)$

执行如图程序框图，如果输入的 $a=4$ ， $b=6$ ，那么输出的 $n=($ 　　 $)$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $B=\frac{\pi }{4}$ ， $\mathit{BC}$ 边上的高等于 $\frac{1}{3}\mathit{BC}$ ，则 $\cos A$ 等于 $($ 　　 $)$

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 $($ 　　 $)$

在封闭的直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ， $A{A}_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是 $($ 　　 $)$

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左，右顶点． $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\mathit{PF}\perp x$ 轴，过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $\mathit{PF}$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $\mathit{BM}$ 经过 $\mathit{OE}$ 的中点，则 $C$ 的离心率为 $($ 　　 $)$

定义"规范01数列" $\left\{a_n\right\}$ 如下： $\left\{a_n\right\}$ 共有 $2m$ 项，其中 $m$ 项为0， $m$ 项为1，且对任意 $k⩽2m$ ， $a_1$ ， $a_2$ ， $\dots$ ， $a_k$ 中0的个数不少于1的个数，若 $m=4$ ，则不同的"规范01数列"共有 $($ 　　 $)$

若 $x$， $y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y+1⩾0\\ x-2y⩽0\\ x+2y-2⩽0\end{array}\right.$，则 $z=x+y$的最大值为　　．

函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$的图象可由函数 $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

已知 $f\left(x\right)$为偶函数，当 $x<0$时， $f\left(x\right)=\mathit{ln}(-x)+3x$，则曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,-3)$处的切线方程是　　．

已知直线 $l:\mathit{mx}+y+3m-\sqrt{3}=0$与圆 $x^2+y^2=12$交于 $A$， $B$两点，过 $A$， $B$分别作 $l$的垂线与 $x$轴交于 $C$， $D$两点，若 $\left|\mathit{AB}\right|=2\sqrt{3}$，则 $\left|\mathit{CD}\right|=$　　．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=1+\lambda a_n$，其中 $\lambda \ne 0$．

（1）证明 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_5=\frac{31}{32}$，求 $\lambda$．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码 $1-7$分别对应年份 $2008-2014$．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$与 $t$的关系，请用相关系数加以证明；

（Ⅱ）建立 $y$关于 $t$的回归方程（系数精确到 $0.01)$，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{y}_i=9.32$， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{t}_i{y}_i=40.17$， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{(y_i-\bar{y})}^2}=0.55$， $\sqrt{7}\approx 2.646$．

参考公式：相关系数 $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(t_i-\bar{t})}^2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(y_i-\bar{y})}^2}}$，

回归方程 $\stackrel{̂}{y}=\stackrel{̂}{a}+\stackrel{̂}{b}t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{̂}{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(t_i-\bar{t})}^2}$， $\stackrel{̂}{a}=\bar{y}-\stackrel{̂}{b}\bar{t}$．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$中， $\mathit{PA}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$， $M$为线段 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$， $N$为 $\mathit{PC}$的中点．

（1）证明： $\mathit{MN}//$平面 $\mathit{PAB}$；

（2）求直线 $\mathit{AN}$与平面 $\mathit{PMN}$所成角的正弦值．

已知抛物线 $C:y^2=2x$的焦点为 $F$，平行于 $x$轴的两条直线 $l_1$， $l_2$分别交 $C$于 $A$， $B$两点，交 $C$的准线于 $P$， $Q$两点．

（Ⅰ）若 $F$在线段 $\mathit{AB}$上， $R$是 $\mathit{PQ}$的中点，证明 $\mathit{AR}//\mathit{FQ}$；

（Ⅱ）若 $\mathit{\Delta PQF}$的面积是 $\mathit{\Delta ABF}$的面积的两倍，求 $\mathit{AB}$中点的轨迹方程．

设函数 $f\left(x\right)=a\cos 2x+(a-1)(\cos x+1)$，其中 $a>0$，记 $\left|f\right(x\left)\right|$的最大值为 $A$．

（Ⅰ）求 $f\text{'}\left(x\right)$；

（Ⅱ）求 $A$；

（Ⅲ）证明： $|f\text{'}(x\left)\right|⩽2A$．

如图， $\odot O$中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为 $P$，弦 $\mathit{PC}$， $\mathit{PD}$分别交 $\mathit{AB}$于 $E$， $F$两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若 $\mathit{EC}$的垂直平分线与 $\mathit{FD}$的垂直平分线交于点 $G$，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.(\alpha$为参数），以坐标原点为极点，以 $x$轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$．

（1）写出 $C_1$的普通方程和 $C_2$的直角坐标方程；

（2）设点 $P$在 $C_1$上，点 $Q$在 $C_2$上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$的最小值及此时 $P$的直角坐标．

已知函数 $f\left(x\right)=|2x-a|+a$．

（1）当 $a=2$时，求不等式 $f\left(x\right)⩽6$的解集；

（2）设函数 $g\left(x\right)=|2x-1|$，当 $x\in R$时， $f\left(x\right)+g\left(x\right)⩾3$，求 $a$的取值范围．