2016年全国统一高考数学试卷（上海市理科数学试卷）-优题课

设 $x \in R$ ，则不等式 $| x - 3 | < 1$ 的解集为　　．

设 $z = \frac{3 + 2 i}{i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $Imz =$ 　　．

已知平行直线 $l_{1} : 2 x + y - 1 = 0$ ， $l_{2} : 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离　　．

某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　　（米 $)$ ．

已知点 $(3, 9)$ 在函数 $f (x) = 1 + a^{x}$ 的图象上，则 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) =$ 　　．

在正四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 的边长为3， $B D_{1}$ 与底面所成角的大小为 $\arctan \frac{2}{3}$ ，则该正四棱柱的高等于　　．

方程 $3 \sin x = 1 + \cos 2 x$ 在区间 $[0$ ， $2 π]$ 上的解为　　．

在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　．

已知 $ΔABC$ 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．

设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} ax + y = 1 \\ x + by = 1 \end{matrix}$ 无解，则 $a + b$ 的取值范围为　　．

无穷数列 ${a_{n}}$ 由 $k$ 个不同的数组成， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} \in {2$ ， $3}$ ，则 $k$ 的最大值为　　．

在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ ， $B (0, - 1)$ ， $P$ 是曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 上一个动点，则 $\vec{BP} \cdot \vec{BA}$ 的取值范围是　　．

设 $a$ ， $b \in R$ ， $c \in [0$ ， $2 π)$ ，若对于任意实数 $x$ 都有 $2 \sin (3 x - \frac{π}{3}) = a \sin (bx + c)$ ，则满足条件的有序实数组 $(a$ ， $b$ ， $c)$ 的组数为　　．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $O$ 为正八边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ 的中心， $A_{1} (1, 0)$ 任取不同的两点 $A_{i}$ ， $A_{j}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{OP} + \vec{O A_{i}} + \vec{O A_{j}} = \vec{0}$ ，则点 $P$ 落在第一象限的概率是　　．

设 $a \in R$ ，则" $a > 1$ "是" $a^{2} > 1$ "的 $($ 　　 $)$

A．	充分非必要条件	B．	必要非充分条件
C．	充要条件	D．	既非充分也非必要条件

下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是 $($ 　　 $)$

A．

$ρ = 6 + 5 \cos θ$

B．

$ρ = 6 + 5 \sin θ$

C．

$ρ = 6 - 5 \cos θ$

D．

$ρ = 6 - 5 \sin θ$

已知无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ，下列条件中，使得 $2 S_{n} < S (n \in N^{*})$ 恒成立的是 $($ 　　 $)$

A．	$a_{1} > 0$ ， $0.6 < q < 0.7$	B．	$a_{1} < 0$ ， $- 0.7 < q < - 0.6$
C．	$a_{1} > 0$ ， $0.7 < q < 0.8$	D．	$a_{1} < 0$ ， $- 0.8 < q < - 0.7$

设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 、 $h (x)$ 是定义域为 $R$ 的三个函数，对于命题：① $f (x) + g (x)$ 、 $f (x) + h (x)$ 、 $g (x) + h (x)$ 均为增函数，则 $f (x)$ 、 $g (x)$ 、 $h (x)$ 中至少有一个增函数；②若 $f (x) + g (x)$ 、 $f (x) + h (x)$ 、 $g (x) + h (x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f (x)$ 、 $g (x)$ 、 $h (x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

A．	①和②均为真命题	B．	①和②均为假命题
C．	①为真命题，②为假命题	D．	①为假命题，②为真命题

将边长为1的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\hat{AC}$ 长为 $\frac{2}{3} π$ ， $\hat{A 1 B 1}$ 长为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．

（1）求三棱锥 $C - O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；

（2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小．

有一块正方形 $EFGH$ ， $EH$ 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近， $S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $EF$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，如图

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的经验值为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为1的点，请计算以 $EH$ 为一边，另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $EOMGH$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的“经验值”．

双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，△ $F_{1} AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{AB} = 0$ ，求 $l$ 的斜率．

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

（1）当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围．

（3）设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}$ ， $1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t$ ， $t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 21$ ，求 $a_{3}$ ；

（2）若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = c_{5} = 1$ ； $b_{5} = c_{1} = 81$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（3）设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + \sin a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：“对任意 $a_{1}$ ， ${a_{n}}$ 都具有性质 $P$ ”的充要条件为“ ${b_{n}}$ 是常数列”．