2021年广东省中考数学试卷（含答案与解析）-优题课

下列实数中，最大的数是 $($ 　　 $)$

A．

$π$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$| - 2 |$

D．

3

据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将"51085.8万"用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A．

$0.510858 \times 10^{9}$

B．

$51.0858 \times 10^{7}$

C．

$5.10858 \times 10^{4}$

D．

$5.10858 \times 10^{8}$

同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{12}$

B．

$\frac{1}{6}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $9^{m} = 3$ ， $27^{n} = 4$ ，则 $3^{2 m + 3 n} = ($ 　　 $)$

A．

1

B．

6

C．

7

D．

12

若 $| a - \sqrt{3} | + \sqrt{9 a^{2} - 12 ab + 4 b^{2}} = 0$ ，则 $ab = ($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\frac{9}{2}$

C．

$4 \sqrt{3}$

D．

9

下列图形是正方体展开图的个数为 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为圆上一点， $AC = 3$ ， $∠ ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$ ， $CD = 1$ ，则 $⊙ O$ 的直径为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{3}$

B．

$2 \sqrt{3}$

C．

1

D．

2

设 $6 - \sqrt{10}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $(2 a + \sqrt{10}) b$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

$2 \sqrt{10}$

C．

12

D．

$9 \sqrt{10}$

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦 $-$ 秦九韶公式．若 $p = 5$ ， $c = 4$ ，则此三角形面积的最大值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{5}$

B．

4

C．

$2 \sqrt{5}$

D．

5

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 上的两个动点，且 $OA ⊥ OB$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $OC ⊥ AB$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

1

二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = - 2 \\ 2 x + y = 2 \end{matrix}$ 的解为　　．

把抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　．

如图，等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $BC = 4$ ．分别以点 $B$ 、点 $C$ 为圆心，线段 $BC$ 长的一半为半径作圆弧，交 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，则图中阴影部分的面积为　　．

若一元二次方程 $x^{2} + bx + c = 0 (b$ ， $c$ 为常数）的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $- 3 < x_{1} < - 1$ ， $1 < x_{2} < 3$ ，则符合条件的一个方程为　　．

若 $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ 且 $0 < x < 1$ ，则 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}} =$ 　　．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AD = 5$ ， $AB = 12$ ， $\sin A = \frac{4}{5}$ ．过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，则 $\sin ∠ BCE =$ 　　．

在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 2$ ， $BC = 3$ ．点 $D$ 为平面上一个动点， $∠ ADB = 45 °$ ，则线段 $CD$ 长度的最小值为　　．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - 4 > 3 (x - 2) \\ 4 x > \frac{x - 7}{2} \end{matrix}$ ．

某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ，作 $BC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $AC$ 至点 $E$ ，使 $CE = AB$ ．

（1）若 $AE = 1$ ，求 $ΔABD$ 的周长；

（2）若 $AD = \frac{1}{3} BD$ ，求 $\tan ∠ ABC$ 的值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k > 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P (1, m)$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）若 $PA = 2 AB$ ，求 $k$ 的值．

端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价 $x$ 元 $(50 ⩽ x ⩽ 65)$ ， $y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式并求最大利润．

如图，边长为1的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $AD$ 的中点．连接 $BE$ ，将 $ΔABE$ 沿 $BE$ 折叠得到 $ΔFBE$ ， $BF$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，求 $CG$ 的长．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AB \neq CD$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $AD$ 上，且 $EF / / CD$ ， $AB = AF$ ， $CD = DF$ ．

（1）求证： $CF ⊥ FB$ ；

（2）求证：以 $AD$ 为直径的圆与 $BC$ 相切；

（3）若 $EF = 2$ ， $∠ DFE = 120 °$ ，求 $ΔADE$ 的面积．

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ，且对任意实数 $x$ ，都有 $4 x - 12 ⩽ a x^{2} + bx + c ⩽ 2 x^{2} - 8 x + 6$ ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与 $x$ 轴的正半轴交点为 $A$ ，与 $y$ 轴交点为 $C$ ；点 $M$ 是（1）中二次函数图象上的动点．问在 $x$ 轴上是否存在点 $N$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．