2021年湖南省长沙市中考数学试卷（含答案与解析）

下列四个实数中，最大的数是 $($ 　　 $)$

2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

下列几何图形中，是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{EF}$ 分别与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 交于点 $G$ ， $H$ ， $\angle \mathit{AGE}=100°$ ，则 $\angle \mathit{DHF}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{BAC}=54°$ ，则 $\angle \mathit{BOC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

下列函数图象中，表示直线 $y=2x+1$ 的是 $($ 　　 $)$

"杂交水稻之父"袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位： $\mathit{cm})$ 分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是 $($ 　　 $)$

有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是 $($ 　　 $)$

在一次数学活动课上，某数学老师将 $1~10$ 共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

分解因式： $x^2-2021x=$　　．

如图，在 $\odot O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 的长为4，圆心到弦 $\mathit{AB}$ 的距离为2，则 $\angle \mathit{AOC}$ 的度数为 　　．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 的中点，若 $\mathit{OE}=6$ ，则 $\mathit{BC}$ 的长为 　　．

若关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{kx}-12=0$的一个根为3，则 $k$的值为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ，若 $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{DE}=1.6$ ，则 $\mathit{BD}$ 的长为 　　．

某学校组织了主题为"保护湘江，爱护家园"的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为 $B$ 等的作品份数为 　　．

计算： $|-\sqrt{2}|-2\sin 45°+{(1-\sqrt{3})}^0+\sqrt{2}\times \sqrt{8}$．

先化简，再求值： ${(x-3)}^2+(x+3)(x-3)+2x(2-x)$，其中 $x=-\frac{1}{2}$．

人教版初中数学教科书八年级上册第 $35-36$页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） $:$

证明：由作图可知，在△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$中，

$\left\{\begin{array}{c}B\text{'}C\text{'}=\mathit{BC}\\ A\text{'}B\text{'}=\left(\right)\\ A\text{'}C\text{'}=\left(\right)\end{array}\right.$

$\therefore$△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\text{'}\cong$　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　　．（填序号）

① $\mathit{AAS}$

② $\mathit{ASA}$

③ $\mathit{SAS}$

④ $\mathit{SSS}$

“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{\Delta OAB}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4$ ．

（1）求证： $▱\mathit{ABCD}$ 是矩形；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长．

为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{BD}=\mathit{CD}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 至 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ．

（1）求证： $\angle B=\angle \mathit{ACB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AD}=4$ ，求 $\mathit{\Delta ABE}$ 的周长和面积．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$轴对称，则把该函数称之为“ $T$函数”，其图象上关于 $y$轴对称的不同两点叫做一对“ $T$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A(1,r)$与点 $B(s,4)$是关于 $x$的“ $T$函数” $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{4}{x}(x<0)\\ t{x}^2\left(x⩾0,t\ne 0,t\mathit{是常数}\right)\end{array}\right.$的图象上的一对“ $T$点”，则 $r=$　　， $s=$　　， $t=$　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$的函数 $y=\mathit{kx}+p(k$， $p$是常数）是“ $T$函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$的“ $T$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0$，且 $a$， $b$， $c$是常数）经过坐标原点 $O$，且与直线 $l:y=\mathit{mx}+n(m\ne 0$， $n>0$，且 $m$， $n$是常数）交于 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$两点，当 $x_1$， $x_2$满足 ${(1-x_1)}^{-1}+x_2=1$时，直线 $l$是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

如图，点 $O$ 为以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $\mathit{AB}$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，四边形 $\mathit{MNPQ}$ 为正方形，点 $C$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QP}}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $\mathit{BC}$ 并延长交 $\mathit{MQ}$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{MQ}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OQ}$ ．

（1）求 $\sin \angle \mathit{AOQ}$ 的值；

（2）求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MN}}$ 的值；

（3）令 $\mathit{ME}=x$ ， $\mathit{QD}=y$ ，直径 $\mathit{AB}=2R(R>0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．