2020年全国统一高考文科数学试卷（新课标Ⅲ）-优题课

已知集合 $A = \{1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11\}$ ， $B = \{x | 3 < x < 15\}$ ，则 A∩ B中元素的个数为（）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

若 $\bar{z} (1 + i) = 1 - i$ ，则 z=（）

A．

1-i

B．

1+i

C．

-i

D．

i

设一组样本数据 x ₁， x ₂，…， x _n的方差为0.01，则数据10 x ₁，10 x ₂，…，10 x _n的方差为（）

A．

0.01

B．

0.1

C．

1

D．

10

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I( t)( t的单位：天)的 Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中 K为最大确诊病例数．当 I( $t^{*}$ )=0.95 K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A．

60

B．

63

C．

66

D．

69

已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

在平面内， A， B是两个定点， C是动点，若 $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 1$ ，则点 C的轨迹为（）

A．

圆

B．

椭圆

C．

抛物线

D．

直线

设 $O$ 为坐标原点，直线 $x = 2$ 与抛物线 C： $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 交于 $D$ ， $E$ 两点，若 $OD ⊥ OE$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（）

A．

$(\frac{1}{4}, 0)$

B．

$(\frac{1}{2}, 0)$

C．

$(1, 0)$

D．

$(2, 0)$

点(0，﹣1)到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为（）

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

2

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A．

6+4 $\sqrt{2}$

B．

4+4 $\sqrt{2}$

C．

6+2 $\sqrt{3}$

D．

4+2 $\sqrt{3}$

设 $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{5} 3$ ， $c = \frac{2}{3}$ ，则（）

A．

$a < c < b$

B．

$a < b < c$

C．

$b < c < a$

D．

$c < a < b$

在△ ABC中，cos C= $\frac{2}{3}$ ， AC=4， BC=3，则tan B=（）

A．

$\sqrt{5}$

B．

2 $\sqrt{5}$

C．

4 $\sqrt{5}$

D．

8 $\sqrt{5}$

已知函数 f( x)=sin x+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A．	f(x)的最小值为2	B．	f(x)的图像关于y轴对称
C．	f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称	D．	f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

若x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + y \geq 0, \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1, \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为_________．

设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为_________．

设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ．若 $f^{'} (1) = \frac{e}{4}$ ，则a=_________．

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

设等比数列{ a _n}满足 $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{3} - a_{1} = 8$ ．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为数列{log ₃ a _n}的前 n项和．若 $S_{m} + {S_{m +}}_{1} = {S_{m}}_{+ 3}$ ，求 m．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P( K ²≥ k)	0.050	0.010	0.001
k	3 841	6.635	10.828

如图，在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $D D_{1}$ ，上，且 $2 DE = E D_{1}$ ， $BF = 2 F B_{1}$ ．证明：

（1）当 $AB = BC$ 时， $EF ⊥ AC$ ；

（2）点 $C_{1}$ 在平面 $AEF$ 内．

已知函数 $f (x) = x^{3} - kx + k^{2}$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x = 6$ 上，且 $| BP | = | BQ |$ ， $BP ⊥ BQ$ ，求 $△ APQ$ 的面积．

在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 - t - t^{2} ， \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{matrix}$ ( t为参数且 t≠1)， C与坐标轴交于 A， B两点.

（1）求| $AB$ |：

（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程.

设 a， b， c $\in$ R， a+ b+ c=0， abc=1．

（1）证明： ab+ bc+ ca<0；

（2）用max{ a， b， c}表示 a， b， c中的最大值，证明：max{ a， b， c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．