2020年全国统一高考数学试卷（天津卷）

设全集 $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ ，集合 $A=\{-1,0,1,2\},\hspace{1em}B=\{-3,0,2,3\}$ ，则 $A\cap \left({\complement }_{U}B\right)=$ （    ）

设 $a\in \mathit{R}$ ，则" $a>1$ "是" $a^2>a$ "的（    ）

函数 $y=\frac{4x}{x^2+1}$ 的图象大致为（    ）

从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： $\text{mm}$ ），将所得数据分为9组： $[5.31,5.33),[5.33,5.35),\cdots ,[5.45,5.47],[5.47,5.49]$ ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 $[5.43,5.47)$ 内的个数为（    ）

若棱长为 $2\sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

设 $a=3^{0.7},\mathit{\hspace{1em}b}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0.8},\mathit{\hspace{1em}c}=\mathit{log}{}_{0.7}0.8$ ，则 $a,b,c$ 的大小关系为（    ）

设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ ，过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点和点 $(0,b)$ 的直线为 $l$ ．若 $C$ 的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与 $l$ 垂直，则双曲线 $C$ 的方程为（    ）

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ ．给出下列结论：

① $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $2\pi$ ；

② $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 是 $f\left(x\right)$ 的最大值；

③把函数 $y=\mathit{sin}x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象．

其中所有正确结论的序号是

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x}^3,& x⩾0,\\ -x,& x<0.\end{array}\right.$ 若函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left|k{x}^2-2x\right|\hspace{1em}(k\in \mathit{R})$ 恰有4个零点，则 $k$ 的取值范围是（    ）

是虚数单位，复数 $\frac{8-i}{2+i}=$_________．

在 ${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^5$的展开式中， $x^2$的系数是_________．

已知直线 $x-\sqrt{3}y+8=0$和圆 $x^2+y^2=r^2(r>0)$相交于 $A,B$两点．若 $\left|\mathit{AB}\right|=6$，则 $r$的值为_________．

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$和 $\frac{1}{3}$．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

已知 $a>0,\mathit{\hspace{1em}b}>0$，且 $\mathit{ab}=1$，则 $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$的最小值为_________．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle B=60^{°},\mathit{\hspace{1em}AB}=3$ ， $\mathit{BC}=6$ ，且 $\overrightarrow{\mathit{AD}}=\lambda \overrightarrow{\mathit{BC}},\hspace{1em}\overrightarrow{\mathit{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AB}}=-\frac{3}{2}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为_________，若 $M,N$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，且 $\left|\overrightarrow{\mathit{MN}}\right|=1$ ，则 $\overrightarrow{\mathit{DM}}\cdot \overrightarrow{\mathit{DN}}$ 的最小值为_________．

在 $△\mathit{ABC}$中，角所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $a=2\sqrt{2},b=5,c=\sqrt{13}$．

（Ⅰ）求角 $C$的大小；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}A$的值；

（Ⅲ）求 $\mathit{sin}\left(2A+\frac{\pi }{4}\right)$的值．

如图，在三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 $\mathit{ABC},\mathit{AC}\perp \mathit{BC},\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$ ， $C{C}_1=3$ ，点 $D,\mathit{\hspace{1em}E}$ 分别在棱 $A{A}_1$ 和棱 $C{C}_1$ 上，且 $\mathit{AD}=1\mathit{\hspace{1em}CE}=2,\mathit{\hspace{1em}M}$ 为棱 $A_1{B}_1$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1}M\perp B_{1}D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B-B_{1}E-D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\mathit{AB}$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角的正弦值．

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个顶点为 $A(0,-3)$，右焦点为 $F$，且 $\left|\mathit{OA}\right|=\left|\mathit{OF}\right|$，其中 $O$为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$满足 $3\overrightarrow{\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OF}}$，点 $B$在椭圆上（ $B$异于椭圆的顶点），直线 $\mathit{AB}$与以 $C$为圆心的圆相切于点 $P$，且 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点．求直线 $\mathit{AB}$的方程．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $\left\{b_n\right\}$为等比数列， $a_1=b_1=1,a_5=5\left(a_4-a_3\right),b_5=4\left(b_4-b_3\right)$．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，求证： $S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2\left(n\in {\mathit{N}}^{*}\right)$；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$，设 $c_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left(3a_n-2\right)b_n}{a_n{a}_{n+2}},& n\mathit{为奇数},\\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}},& n\mathit{为偶数}.\end{array}\right.$求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $2n$项和．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+k\mathit{ln}x(k\in R)$， $f^{\text{'}}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）当 $k=6$时，

（i）求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（ii）求函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{9}{x}$的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k⩾-3$时，求证：对任意的 $x_1,\hspace{1em}{x}_2\in [1,+\infty )$，且 $x_1>x_2$，有 $\frac{f^{\text{'}}\left(x_1\right)+f^{\text{'}}\left(x_2\right)}{2}>\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$．