2020年全国统一高考理科数学试卷（新课标Ⅰ）-优题课

若z=1+ i，则|z ²-2 z|=（）

A．

0

B．

1

C．

$\sqrt{2}$

D．

2

设集合 A={ x| x ²-4≤0}， B={ x|2 x+ a≤0}，且 A∩ B={ x|-2≤ x≤1}，则 a=（）

A．

-4

B．

-2

C．

2

D．

4

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A．

$\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

B．

$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

D．

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

已知 A为抛物线 C: y ²=2 px（ p>0）上一点，点 A到 C的焦点的距离为12，到 y轴的距离为9，则 p=（）

A．

2

B．

3

C．

6

D．

9

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是（）

A．	$y = a + bx$	B．	$y = a + b x^{2}$
C．	$y = a + b e^{x}$	D．	$y = a + b \ln x$

函数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A．	$y = - 2 x - 1$	B．	$y = - 2 x + 1$
C．	$y = 2 x - 3$	D．	$y = 2 x + 1$

设函数 $f (x) = \cos (ωx + \frac{π}{6})$ 在 $[- π, π]$ 的图像大致如下图，则 f( x)的最小正周期为（）

A．	$\frac{10 π}{9}$	B．	$\frac{7 π}{6}$
C．	$\frac{4 π}{3}$	D．

$(x + \frac{y^{2}}{x}) (x + y)^{5}$ 的展开式中 x ³ y ³的系数为（）

A．	5	B．	10
C．	15	D．	20

已知 $α \in (0, π)$ ，且 $3 \cos 2 α - 8 cosα = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A．	$\frac{\sqrt{5}}{3}$	B．	$\frac{2}{3}$
C．	$\frac{1}{3}$	D．	$\frac{\sqrt{5}}{9}$

已知为球 $O$ 的球面上的三个点，⊙ $O_{1}$ 为 $△ ABC$ 的外接圆，若⊙ $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $AB = BC = AC = O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A．

$64 π$

B．

$48 π$

C．

$36 π$

D．

$32 π$

已知⊙ M： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作⊙ M的切线 $PA, PB$ ，切点为 $A, B$ ，当 $| PM | \cdot | AB |$ 最小时，直线 $AB$ 的方程为（）

A．

$2 x - y - 1 = 0$

B．

$2 x + y - 1 = 0$

C．

$2 x - y + 1 = 0$

D．

$2 x + y + 1 = 0$

若 $2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b$ ，则（）

A．

$a > 2 b$

B．

$a < 2 b$

C．

$a > b^{2}$

D．

$a < b^{2}$

若x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} 2 x + y - 2 \leq 0, \\ x - y - 1 \geq 0, \\ y + 1 \geq 0, \end{matrix}$ 则z=x+7y的最大值为______________.

设 $a, b$ 为单位向量，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ______________.

已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

如图，在三棱锥 P- ABC的平面展开图中， AC=1， $AB = AD = \sqrt{3}$ ， AB⊥ AC， AB⊥ AD，∠ CAE=30°，则cos∠ FCB=______________.

设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

（1）求 ${a_{n}}$ 的公比；

（2）若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $AE$ 为底面直径， $AE = AD$ ． $△ ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点， $PO = \frac{\sqrt{6}}{6} DO$ ．

（1）证明： $PA ⊥$ 平面 $PBC$ ；

（2）求二面角 $B - PC - E$ 的余弦值．

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\vec{AG} \cdot \vec{GB} = 8$ ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x$ .

（1）当 a=1时，讨论 f（ x）的单调性；

（2）当 x≥0时， f（ x）≥ $\frac{1}{2}$ x ³+1，求 a的取值范围.

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $(t$ 为参数 $)$ ．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 ρ \cos θ - 16 ρ \sin θ + 3 = 0$ ．

（1）当 $k = 1$ 时， $C_{1}$ 是什么曲线？

（2）当 $k = 4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．

已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 |$ ．

（1）画出 $y = f (x)$ 的图像；

（2）求不等式 $f (x) > f (x + 1)$ 的解集．