2017年全国统一高考理科数学试卷（浙江卷）-优题课

已知集合 $P = {x | - 1 < x < 1}$ , $Q = {x | 0 < x < 2}$ ,那么 $P \cup Q =$ ( )

A．	$(- 1, 2)$	B．	$(0, 1)$
C．	$(- 1, 0)$	D．	$(1, 2)$

椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率是( )

A．

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{5}{9}$

某几何体的三视图如图所示 (单位 $: cm)$ , 则该几何体的体积 (单位 $: {cm}^{3}$ )是（）

A．	$\frac{π}{2} + 1$	B．	$\frac{π}{2} + 3$
C．	$\frac{3 π}{2} + 1$	D．	$\frac{3 π}{2} + 3$

若 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x ⩾ 0, \\ x + y - 3 ⩾ 0, 则 z = x + 2 y 的取值范围是 \\ x - 2 y ⩽ 0, \end{matrix}$ ( )

A．	$[0, 6]$
B．	$[0, 4]$
C．	$[6, + \infty)$
D．	$[4, + \infty ）$

若函数 $f (x) = x^{2} + ax + b$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最大值是 $M$ , 最小值是 $m$ , 则 $M - m$ （）

A．	与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关
B．	与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关
C．	与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关
D．	与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ , 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , 则" $d > 0$ "是" $S_{4} + S_{6} > 2 S_{5}$ "的( )

A．	充分不必要条件
B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件
D．	既不充分也不必要条件

函数 $y = f (x)$ 的导函数， $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示,则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

已知随机变量 $ξ_{i}$ 满足 $P (ξ_{i} = 1) = p_{i}, P (ξ_{i} = 0) = 1 - p_{i}, i = 1, 2 .$ 若 $0 < p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}$ , 则（）

A．	$E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}) ， D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$
B．	$E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}) ， D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$
C．	$E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}) ， D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$
D．	$E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}) ， D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$

如图,已知正四面体 $D - ABC ($ 所有棱长均相等的三棱锥 $), P, Q, R$ 分别为 $AB$ , $BC, CA$ 上的点, $AP = PB, \frac{BQ}{QC} = \frac{CR}{RA} = 2 。$ 分别记二面角 $D - PR - Q ， D - PQ - R$ ， $D - QR - P$ 的平面角为 $α ， β ， γ$ ，则（）

A．	$γ < α < β$
B．	$α < γ < β$
C．	$α < β < γ$
D．	$β < γ < α$

如图,已知平面四边形 $ABCD, AB ⊥ BC, AB = BC = AD = 2, CD = 3, AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ . 记 $I_{1} = \vec{OA} \cdot \vec{OB}, I_{2} = \vec{OB} \cdot \vec{OC}, I_{3} = \vec{OC} \cdot \vec{OD}$ , 则（ )

A．	$I_{1} < I_{2} < I_{3}$
B．	$I_{1} < I_{3} < I_{2}$
C．	$I_{3} < I_{1} < I_{2}$
D．	$I_{2} < I_{1} < I_{3}$

我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 $π$ , 理论上能把 $π$ 的值计算到任意精度. 祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 $π$ 的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的买面积 $S_{6}$ , $S_{6} =$ .

已知 $a, b \in R, (a + b i)^{2} = 3 + 4 i (i$ 是虚数单位 $)$ , 则 $a^{2} + b^{2} =$ ，

$ab =$ .

已知多项式 $(x + 1)^{3} (x + 2)^{2} = x^{5} + a_{1} x^{4} + a_{2} x^{3} + a_{3} x^{2} + a_{4} x + a_{5}$ , 则 $a_{4} =$ ， $a_{5} =$ 。

已知 $△ ABC, AB = AC = 4, BC = 2$ . 点 $D$ 为 $AB$ 延长线上一点, $BD = 2$ , 连结 $CD$ , 则 $△ BDC$ 的面积是 , $\cos ∠ BDC =$ 。

已知向量 $a, b$ 满足 $|a| = 1$ , $| b | = 2$ ,则 $| a + b | + | a - b |$ 的最小值是 ,最大值是 .

从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有种不同的选法. (用数字作答)

已知 $a \in R$ , 函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值是 5 ,则 $a$ 的取值范围是。

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .

( I ) 求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值;

( II )求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

如图,已知四棱锥 $P - ABCD, △ PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形, $BC / / AD$ , $CD ⊥ AD, PC = AD = 2 D C = 2 CB, E$ 为 $PD$ 的中点.

（I ) 证明: $CE / /$ 平面 $PAB$ ;

( II )求直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

已知函数 $f (x) = (x - \sqrt{2 x - 1}) e^{- x} (x ⩾ \frac{1}{2})$ .

( I ) 求 $f (x)$ 的导函数;

( II ) 求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ 上的取值范围.

如图,已知抛物线 $x^{2} = y$ , 点 $A (- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}), B (\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ , 抛物线上的点 $P (x, y)$

$(- \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}) .$ 过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

( I ) 求直线 $AP$ 斜率的取值范围；

( II ) 求 $| PA | \cdot | PQ |$ 的最大值。

已知数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $: x_{1} = 1, x_{n} = x_{n + 1} + \ln (1 + x_{n + 1}) (n \in N^{*})$ .

证明: 当 $n \in N^{*}$ 时,

( I ) $0 < x_{n + 1} < x_{n}$ ;

( II ) $2 x_{n + 1} - x_{n} ⩽ \frac{x_{n} x_{n + 1}}{2}$ ;

( III ) $\frac{1}{2^{n - 1}} ⩽ x_{n} ⩽ \frac{1}{2^{n - 2}}$ .