2019年全国统一高考数学试卷（浙江卷）-优题课

已知全集 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A．	$\{- 1\}$	B．	$\{0, 1\}$
C．	$\{- 1, 2, 3\}$	D．	$\{- 1, 0, 1, 3\}$

渐近线方程为 $x \pm y = 0$ 的双曲线的离心率是（）

A．	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	B．	1
C．	$\sqrt{2}$	D．	2

若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 4 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是（）

A．	$- 1$	B．	1
C．	10	D．	12

祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的"幂势既同，则积不容易"称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V_{柱体} = S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积， $h$ 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）

A．	158	B．	162
C．	182	D．	32

若，则" $a + b \leq 4$ "是 " $ab \leq 4$ "的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^{x}}, y = \log_{a} (x + \frac{1}{2}) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A．		B．
C．		D．

设 $0 < a < 1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

则当 $a$ 在 $(0, 1)$ 内增大时（）

A．	$D (X)$ 增大	B．	$D (X)$ 减小
C．	$D (X)$ 先增大后减小	D．	$D (X)$ 先减小后增大

设三棱锥 $V - ABC$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等， $P$ 是棱 $VA$ 上的点（不含端点），记直线 $PB$ 与直线 $AC$ 所成角为 $α$ ，直线 $PB$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - AC - B$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A．	$β < γ, α < γ$	B．	$β < α, β < γ$
C．	$β < α, γ < α$	D．	$α < β, γ < β$

已知 $a, b \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x, x < 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + ax, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - ax - b$ 恰有三个零点，则（）

A．	$a < - 1, b < 0$	B．	$a < - 1, b > 0$
C．	$a > - 1, b < 0$	D．	$a > - 1, b > 0$

设 $a, b \in R$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + b$ ， $n \in N^{*}$ ,则（）

A．	当 $b = \frac{1}{2}, a_{10} > 10$	B．	当 $b = \frac{1}{4}, a_{10} > 10$
C．	当 $b = - 2, a_{10} > 10$	D．	当 $b = - 4, a_{10} > 10$

复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （为虚数单位），则 $| z | =$ ________.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心， $|OF|$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是_______.

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $| f (t + 2) - f (t) | \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是____.

已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，半径长是 $r$ .若直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与圆相切于点 $A (- 2, - 1)$ ，则 $m =$ _____， $r =$ ______.

在二项式 $(\sqrt{2} + x)^{9}$ 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

在 $△ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ，点 $D$ 在线段 $AC$ 上，若 $∠ BDC = 45 °$ ，则 $BD =$ ____； $\cos ∠ ABD =$ ________.

已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，当每个 $λ_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $|λ_{1} \overset{⃑}{AB} + λ_{2} \overset{⃑}{BC} + λ_{3} \overset{⃑}{CD} + λ_{4} \overset{⃑}{DA} + λ_{5} \overset{⃑}{AC} + λ_{6} \overset{⃑}{BD}|$ 的最小值是________；最大值是_______.

设函数 $f (x) = sin x, x \in R$ .

（1）已知 $θ \in [0, 2 π),$ 函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求 $θ$ 的值；

（2）求函数 $y = [f (x + \frac{π}{12})]^{2} + [f (x + \frac{π}{4})]^{2}$ 的值域.

如图，已知三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $ABC$ , $∠ ABC = 90 °$ ， $∠ BAC = 30 °, A_{1} A = A_{1} C = AC, E, F$ 分别是 $AC, A_{1} B_{1}$ 的中点.

（1）证明： $EF ⊥ BC$ ；

（2）求直线 $EF$ 与平面 $A_{1} BC$ 所成角的余弦值.

设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 4$ ， $a_{4} = S_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足：对每 $n \in N^{*}, S_{n} + b_{n}, S_{n + 1} + b_{n}, S_{n + 2} + b_{n}$ 成等比数列.

（1）求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

（2）记 $C_{n} = \sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in N^{*},$ 证明： $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n} < 2 \sqrt{n}, n \in N^{*} .$

如图，已知点 $F (1 ， 0)$ 为抛物线 $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△ ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△ AFG, △ CQG$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0 .$

（1）当 $a = - \frac{3}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（2）对任意 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a},$ 求 $a$ 的取值范围.

注： $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.