2018年全国统一高考文科数学试卷（新课标Ⅲ）-优题课

已知集合 $A = {x | x - 1 \geq 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A．

${0}$

B．

${1}$

C．

${1, 2}$

D．

${0, 1, 2}$

$(1 + i) (2 - i) =$ （）

A．

$- 3 - i$

B．

$- 3 + i$

C．

$3 - i$

D．

$3 + i$

中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A．

B．

C．

D．

若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A．

$\frac{8}{9}$

B．

$\frac{7}{9}$

C．

$- \frac{7}{9}$

D．

$- \frac{8}{9}$

若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）

A．

0.3

B．

0.4

C．

0.6

D．

0.7

函数 $f (x) = \frac{tan x}{1 + ta n^{2} x}$ 的最小正周期为（）

A．

$\frac{π}{4}$

B．

$\frac{π}{2}$

C．

$π$

D．

$2 π$

下列函数中，其图像与函数 $y = \ln x$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称的是（）

A．

$y = \ln (1 - x)$

B．

$y = \ln (2 - x)$

C．

$y = \ln (1 + x)$

D．

$y = \ln (2 + x)$

直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ ABP$ 面积的取值范围是（）

A．

$[2 ， 6]$

B．

$[4 ， 8]$

C．

$[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

D．

$[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

函数 $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ 的图像大致为（）

A．		B．
C．		D．

已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(4, 0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为（）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$2$

C．

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D．

$2 \sqrt{2}$

$△ ABC$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ ABC$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$ （）

A．

$\frac{π}{2}$

B．

$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{4}$

D．

$\frac{π}{6}$

设 $A ， B ， C ， D$ 是同一个半径为4的球的球面上四点， $△ ABC$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - ABC$ 体积的最大值为（）

A． $12 \sqrt{3}$ B． $18 \sqrt{3}$ C． $24 \sqrt{3}$ D． $54 \sqrt{3}$

已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 2)$ ， $\overset{⃑}{c} = (1, λ)$ ．若 $\overset{⃑}{c} ∥ (2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，则 $λ =$ ________．

某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

若变量 $x ， y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} 2 x + y + 3 \geq 0 ， \\ x - 2 y + 4 \geq 0 ， \\ x - 2 \leq 0 . \end{matrix}$ 则 $z = x + \frac{1}{3} y$ 的最大值是________．

已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1$ ， $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ ________．

等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⏜}{CD}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⏜}{CD}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $AMD ⊥$ 平面 $BMC$ ；

（2）在线段 $AM$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $MC ∥$ 平面 $PBD$ ？说明理由．

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．线段 $AB$ 的中点为 $M (1, m) (m > 0)$ ．

（1）证明： $k < - \frac{1}{2}$ ；

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overset{⃑}{FP} + \overset{⃑}{FA} + \overset{⃑}{FB} = \overset{⃑}{0}$ ．证明： $2 |\overset{⃑}{FP} |=| \overset{⃑}{FA} |+| \overset{⃑}{FB}|$ ．

已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ．

（1）求曲线在点 $(0, - 1)$ 处的切线方程；

（2）证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ ， \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点．

（1）求 $α$ 的取值范围；

（2）求 $AB$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程．

设函数 $f (x) = |2 x + 1| + |x - 1|$ ．

（1）画出的图像；

（2）当 $x \in [0, + \infty)$ ， $f (x) \leq ax + b$ ，求 $a + b$ 的最小值．