2009年全国统一高考文科数学试卷（辽宁卷）-优题课

已知集合 $M = \{x |- 3 < x \leq 5\}$ , $N = \{x |x < - 5 或 x > 5\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A．	$\{x \|x < - 5 或 x > - 3\}$	B．	$\{x \|- 5 < x < 5\}$
C．	$\{x \|- 3 < x < 5\}$	D．	$\{x \|x < - 3 或 x > 5\}$

已知复数 $z = 1 - 2 i$ ，那么 $\frac{1}{\bar{z}}$ =（）

A．

$\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} i$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} i$

C．

$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

D．

$\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{7} - 2 a_{4} = - 1$ ， $a_{3} = 0$ ，则公差 $d$ =（）

A．

-2

B．

$- \frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

2

平面向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $6 0^{0}$ ， $a = (2, 0)$ ， $|b| = 1$ ，则 $|a + 2 b| =$ （）

A. $\sqrt{3}$ B. $2 \sqrt{3}$ C.4 D.12

如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 $6 0^{0}$ 纬线长和赤道长的比值为（）

A．

0.8

B．

0.75

C．

0.5

D．

0.25

已知函数 $f (x)$ 满足： $x \geq 4$ ，则 $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ ；当 $x < 4$ 时 $f (x) = f (x + 1)$ ，则 $f (2 + \log_{2} 3)$ =（）

A．

$\frac{1}{24}$

B．

$\frac{1}{12}$

C．

$\frac{1}{8}$

D．

$\frac{3}{8}$

已知圆C与直线 $x - y = 0$ 及 $x - y - 4 = 0$ 都相切，圆心在直线 $x + y = 0$ 上，则圆C的方程为（）

A．	$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$	B．	$(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$
C．	$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$	D．	$(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$

已知 $\tan θ = 2$ ，则 $\sin^{2} θ + \sin θ \cos θ - 2 \cos^{2} θ =$ （）

A．

$- \frac{4}{3}$

B．

$\frac{5}{4}$

C．

$- \frac{3}{4}$

D．

$\frac{4}{5}$

ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）

A．

$\frac{π}{4}$

B．

$1 - \frac{π}{4}$

C．

$\frac{π}{8}$

D．

$1 - \frac{π}{8}$

某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，。。。 $a_{N}$ ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）

A．	A>0,V=S-T
B．	A<0,V=S-T
C．	A>0,V=S+T
D．	A<0,V=S+T

下列4个命题

$p_{1} : \exists x \in (0, + \infty), (\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{3})^{x}$

$p_{2} : \exists x \in (0, 1), \log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{3}} x$

$p_{3} : \forall x \in (0, + \infty), (\frac{1}{2})^{x} > \log_{\frac{1}{2}} x$

$p_{4} : \forall x \in (0, \frac{1}{3}), (\frac{1}{2})^{x} < \log_{\frac{1}{3}} x$

其中的真命题是（）

A．

$p_{1}, p_{3}$

B．

$p_{1}, p_{4}$

C．

$p_{2}, p_{3}$

D．

$p_{2}, p_{4}$

已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调增加，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 取值范围是（）

A．

$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

B．

$[\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

C．

$(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

D．

$[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，四边形 $ABCD$ 的边 $AB ∥ DC, AD ∥ BC$ ,已知点 $A (- 2, 0), B (6, 8), C (8, 6)$ ，则 $D$ 点的坐标为___________.

已知函数 $f (x) = \sin (ωx + φ) (ω > 0)$ 的图象如图所示，则 $ω$ =

若函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 1}$ 在 $x = 1$ 处取极值，则 $a =$

设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为_____ $m^{3}$ .

等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n 项和为 $s_{n}$ ，已知 $S_{1}$ , $S_{3}$ , $S_{2}$ 成等差数列

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q$ ；

（2）求 $a_{1} - a_{3} = 3$ 求 $s_{n}$

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 $7 5^{0}$ ， $3 0^{0}$ ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 $6 0^{0}$ ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{6} \approx$ 2.449）

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $CD = 2$ ， $平面 ABCD ⊥ 平面 DCEF$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（Ⅱ）由于以上统计数据填下面 $2 \times 2$ 列联表，并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附： $x^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}, \frac{p (x^{2} \geq k)}{k} \frac{0.05 0.01}{3.841 6.635}$

设 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + x + 1)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求 $a$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $θ \in [0, \frac{π}{2}] 时， |f (\cos θ) - f (sin θ)| < 2$

已知，椭圆C以过点， $A (1, \frac{3}{2})$ ，两个焦点为 $(- 1 ， 0)$ $(1, 0)$ 。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。