2016年全国统一高考理科数学试卷（浙江卷）-优题课

已知集合 $P = {x \in R | 1 \leq x \leq 3}$ ， $Q = {x \in R | x 2 \geq 4}$ ，则 $P \cup （ ∁_{R} Q ） =$ （　　）

A．

$[2 ， 3]$

B．

$（﹣ 2 ， 3]$

C．

$[1 ， 2)$

D．

$（﹣ \infty ，﹣ 2] \cup [1 ， + \infty ）$

已知互相垂直的平面α，β交于直线 $l$ ，若直线m，n满足 $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则（　　）

A．

$m ∥ l$

B．

$m ∥ n$

C．

$n ⊥ l$

D．

$m ⊥ n$

在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域 $\{\begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x - 3 y + 4 \geq 0 \end{matrix}$ 中的点在直线 $x + y ﹣ 2 = 0$ 上的投影构成的线段记为 $AB$ ，则 $| AB | =$ （　　）

A．

$2 \sqrt{2}$

B．

4

C．

$3 \sqrt{2}$

D．

6

命题" $\forall x \in R$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $n \geq x^{2}$ "的否定形式是（　　）

A．	$\forall x \in R$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $n ＜ x^{2}$	B．	$\forall x \in R ， \forall n \in N^{*}$ ，使得 $n ＜ x^{2}$
C．	$\exists x \in R ， \exists n \in N^{*}$ ，使得 $n ＜ x^{2}$	D．	$\exists x \in R ， \forall n \in N^{*}$ ，使得 $n ＜ x^{2}$

设函数 $f （ x ） = \sin^{2} x + bsinx + c$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期（　　）

A．	与b有关，且与c有关	B．	与b有关，但与c无关
C．	与b无关，且与c无关	D．	与b无关，但与c有关

如图，点列 ${A_{n}}$ 、 ${B_{n}}$ 分别在某锐角的两边上且 $| A_{n} A_{n + 1} | = | A_{n} + 1 A_{n + 2} | ， A n \neq A n + 1$ ， $n \in N^{*}$ ， $| B_{n} B_{n + 1} | = | B_{n} + 1 B_{n + 2} |$ ， $B_{n} \neq B_{n + 1}$ ， $n \in N *$ ，（ $P \neq Q$ 表示点 $P 与 Q$ 不重合）若 $d n = | A_{n} B_{n} |$ ， $S_{n}$ 为 $△ A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 的面积，则（　　）

A．

${S_{n}}$ 是等差数列

B．

${S_{n}^{2}}$ 是等差数列

C．

${d_{n}}$ 是等差数列

D．

${d_{n}^{2}}$ 是等差数列

已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m ＞ 1)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{n^{2}} ﹣ y^{2} = 1 (n ＞ 0)$ 的焦点重合， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（　　）

A．

$m ＞ n$ 且 $e_{1} e_{2} ＞ 1$

B．

$m ＞ n$ 且 $e_{1} e_{2} ＜ 1$

C．

$m ＜ n$ 且 $e_{1} e_{2} ＞ 1$

D．

$m ＜ n$ 且 $e_{1} e_{2} ＜ 1$

已知实数a，b，c．（　　）

A．	若 $\| a^{2} + b + c \| + \| a + b^{2} + c \| \leq 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} ＜ 100$
B．	若 $\| a^{2} + b + c \| + \| a^{2} + b ﹣ c \| \leq 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} ＜ 100$
C．	若 $\| a + b + c^{2} \| + \| a + b ﹣ c^{2} \| \leq 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} ＜ 100$
D．	若 $\| a^{2} + b + c \| + \| a + b^{2} ﹣ c \| \leq 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} ＜ 100$

若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点 $M$ 到焦点的距离为10，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离是________．

已知 $2 \cos^{2} x + \sin 2 x = Asin （ ωx + φ ） + b （ A ＞ 0 ）$ ，则 $A =$ ________， $b =$ ________．

某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________ ${cm}^{2}$ ，体积是________ ${cm}^{3}$ ．

已知 $a ＞ b ＞ 1$ ，若 $\log_{a} b + \log_{b} a = \frac{5}{2}$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，则 $a =$ ________， $b =$ ________．

设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{1} =$ ________， $S_{5} =$ ________．

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = BC = 2$ ， $∠ ABC = 120 °$ ．若平面 $ABC$ 外的点P和线段AC上的点D，满足 $PD = DA$ ， $PB = BA$ ，则四面体 $PBCD$ 的体积的最大值是________．

已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若对任意单位向量 $\vec{e}$ ，均有 $|\vec{a ∙} \vec{e}| + | \vec{b} ∙ \vec{e} | \leq \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a} • \vec{b}$ 的最大值是________．

在 $△ ABC$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b + c = 2 acosB$ ．

（1）证明： $A = 2 B$

（2）若 $△ ABC$ 的面积 $S = \frac{a^{2}}{4}$ ，求角A的大小．

如图，在三棱台 $ABC ﹣ DEF$ 中，已知平面 $BCFE ⊥$ 平面 $ABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $BE = EF = FC = 1$ ， $BC = 2$ ， $AC = 3$ ，

（1）求证： $EF ⊥$ 平面 $ACFD$ ；

（2）求二面角 $B ﹣ AD ﹣ F$ 的余弦值．

已知 $a \geq 3$ ，函数 $F （ x ） = \min {2 | x ﹣ 1 | ， x^{2} ﹣ 2 ax + 4 a ﹣ 2}$ ，其中 $\min （ p ， q ） = \{\begin{matrix} p, p \leq q \\ q, p > q \end{matrix}$

（1）求使得等式 $F （ x ） = x^{2} ﹣ 2 ax + 4 a ﹣ 2$ 成立的x的取值范围

（2）（1）求 $F （ x ）$ 的最小值 $m （ a ）$

（3）求 $F （ x ）$ 在 $[0 ， 6]$ 上的最大值 $M （ a ）$

如图，设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 （ a ＞ 1 ）$

（1）求直线 $y = kx + 1$ 被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）

（2）若任意以点 $A （ 0 ， 1 ）$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

设数列满足 $| a_{n} ﹣ \frac{a_{n + 1}}{2} | \leq 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

（1）求证： $| a_{n} | \geq 2^{n ﹣ 1} （ | a_{1} | ﹣ 2 ）（ n \in N^{*} ）$

（2）若 $| a_{n} | \leq {（ \frac{3}{2} ）}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $| a_{n} | \leq 2 ， n \in N^{*}$ ．