全国重点高中提前招生真题过关（一）-优题课

关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）.

A．	$m > - 2$	B．	$m ⩾ - 2$
C．	$\begin{matrix} m > - 2 且 m \neq 2 \end{matrix}$	D．	$m ⩾ - 2 且 m \neq 2$

设 $a, b$ 是方程 $x^{2} + 20 x + 1 = 0$ 的两个根， $c, d$ 是方程 $x^{2} - 19 x + 1 = 0$ 的两个根，则代数式 $(a + c) (b + c) (a - d) (b - d)$ 的值为（）.

A．

$0$

B．

$- 2019$

C．

$- 39$

D．

$1$

设关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + (a + 2) x + 9 a = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）.

A．	$a < - \frac{2}{11}$	B．	$\frac{2}{7} < a < \frac{2}{5}$
C．	$a > \frac{2}{5}$	D．	$- \frac{2}{11} < a < 0$

已知 $a, b$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} - 6 a^{2} + b^{2} + 7 b + 1$ 的值是（）.

A．

$- 25$

B．

$- 24$

C．

$35$

D．

$36$

设 $x_{1}, x_{2}$ 是二次方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个根，那么 $x_{1}^{3} - 4 x_{2}^{2} + 19$ 的值等于（）.

A．

$- 4$

B．

$8$

C．

$6$

D．

$0$

已知关于 $x$ 的方程 ${(x - 2)}^{2} + 4 | x - 2 | - k = 0$ 有四个根，则 $k$ 的范围为（）.

A．	$- 1 < k < 0$	B．	$- 4 < k < 0$
C．	$0 < k < 1$	D．	$0 < k < 4$

已知 $a, b, c$ 是三个互不相等的实数，且三个关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0, b x^{2} + cx + a = 0, c x^{2} + ax + b = 0$ 恰有一个公共实数根，则 $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ 的值为（）.

A．

$0$

B．

$1$

C．

$2$

D．

$3$

设方程 $(x - a) (x - b) - x = 0$ 的两根是 $c, d$ ，则方程 $(x - c) (x - d) + x = 0$ 的根是（）.

A．

$a, b$

B．

$- a, - b$

C．

$c, d$

D．

$- c, - d$

设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + a = 0$ 的两个根，以 $x_{1}, x_{2}$ 为两边长的等腰三角形只可以画一个，则实数 $a$ 的取值范围为＿＿＿＿＿.

已知 $α, β$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的两个实根，则 $α^{4} - 3 β =$ ＿＿＿＿＿.

若关于 $x$ 的方程 $(x - 2) (x^{2} - 4 x + m) = 0$ 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 $m$ 的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知 $a, b, c, d$ 是四个不同的实数，且 $(b + d) (b + a) = 1, (c + d) (c + a) = 1$ ，则 $(b + d) (c + d)$ 的值为＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$ 的方程 $\sqrt{x} = x + k$ 有两个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$ 的两个方程 $x^{2} - x + 3 m = 0, x^{2} + x + m = 0$ ，若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的 $3$ 倍，则实数 $m$ 的值是＿＿＿＿＿.

若方程 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = k$ 有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 $k =$ ＿＿＿＿＿.

已知 $x, y, z$ 为实数，且 $x + y + z = 5, xy + yz + zx = 3$ ，则 $z$ 的最大值与最小值的差为＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且满足 $x_{1} x_{2} - |x_{1}| - |x_{2}| = 2$ ，求实数 $k$ 的值；

设 $m$ 是不小于 $- 1$ 的实数，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} - 3 m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ .

（1）若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，求 $m$ 的值；

（2）求 $\frac{m x_{1}^{2}}{1 - x_{1}} + \frac{m x_{2}^{2}}{1 - x_{2}}$ 的最大值.

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

（1）求证:无论 $k$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $k$ 与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求 $k$ 所有可能的值.

定义:如果一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，已知 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，求 $a, b, c$ 之间的关系.

若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (a - 3) x + a - 2 = 0$ 有两个不相等的整数根，求 $a$ 的值.

设 $a, b, c, d$ 为四个不同的实数，若 $a, b$ 为方程 $x^{2} - 10 cx - 11 d = 0$ 的根， $c, d$ 为方程 $x^{2} - 10 ax - 11 b = 0$ 的根，求 $a + b + c + d$ 的值.

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + cx + a = 0$ 的两个整数根恰好比方程 $x^{2} + ax + b = 0$ 的两个根都大 $1$ ，求 $a + b + c$ 的值.