全国重点高中提前招生真题过关（七）-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，先将 $\overset{⏜}{BC}$ 沿 $BC$ 翻折交 $AB$ 于点 $D$ ，再将 $\overset{⏜}{BD}$ 沿 $AB$ 翻折交 $BC$ 于点 $E$ .若 $\overset{⏜}{BE} = \overset{⏜}{DE}$ ，设 $∠ ABC = α$ ，则 $α$ 所在的范围是（）

A．

${21.9}^{\circ} < α < {22.3}^{\circ}$

B．

${22.3}^{\circ} < α < {22.7}^{\circ}$

C．

${22.7}^{\circ} < α < {23.1}^{\circ}$

D．

${23.1}^{\circ} < α < {23.5}^{\circ}$

如图，在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 中，点 $C$ 为圆上的一点， $\overset{⏜}{BC} = 3 \overset{⏜}{AC}$ ，弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $E$ ，弦 $AF$ 交 $CE$ 于点 $H$ ，交 $BC$ 于点 $G$ .若点 $H$ 是 $AG$ 的中点，则 $∠ CBF$ 的度数为（）

A．

$18^{\circ}$

B．

$21^{\circ}$

C．

${22.5}^{\circ}$

D．

$30^{\circ}$

$BC, AC$ 是半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 的弦， $D$ 为 $BC$ 上动点， $M, N$ 分别为 $AD, BD$ 的中点，则 $sin ∠ ACB$ 的值可表示为（）

A．

$DN$

B．

$DM$

C．

$MN$

D．

$CD$

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的一固定直径，自上半圆上一点 $C$ 作弦 $CD ⊥ AB, ∠ OCD$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，当点 $C$ 在上半圆（不包括 $A, B$ 两点）上移动时，点 $P$ （）

A．

到 $CD$ 的距离不变

B．

位置不变

C．

等分 $\overset{⏜}{DB}$

D．

随 $C$ 点的移动而移动

如图，同心圆的半径为 $6, 8, AB$ 为小圆的弦， $CD$ 为大圆的弦，且 $ABCD$ 为矩形，若矩形 $ABCD$ 面积最大时，矩形 $ABCD$ 的周长为（）

A．

$19.6$

B．

$39.2$

C．

$20$

D．

$22$

如图，直径为 $10$ 的 $⊙ A$ 经过点 $C (0, 5)$ 和点 $O (0, 0), B$ 是 $y$ 轴右侧 $⊙ A$ 上一点，则 $∠ OBC$ 的正弦值为（）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

D．

$\frac{4}{5}$

如图，将弧 $BC$ 沿弦 $BC$ 折叠，交直径 $AB$ 于点 $D$ ，若 $AD = 4, DB = 5$ ，则 $BC$ 的长是（）

A．

$3 \sqrt{7}$

B．

$8$

C．

$\sqrt{65}$

D．

$2 \sqrt{15}$

如图，半径 $OA ⊥$ 弦 $BC$ 于点 $D$ ，将 $⊙ O$ 沿 $BC$ 对折交 $AD$ 于点 $E, tan ∠ ABE = \frac{1}{4}, △ ABE$ 面积为 $36$ ，则 $OD$ 的长为（）

A．

$3$

B．

$\frac{5}{3}$

C．

$4$

D．

$\frac{12}{5}$

如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $4, ⊙ C$ 的半径为 $\sqrt{3}, P$ 为 $AB$ 边上一动点，过点 $P$ 作 $⊙ C$ 的切线 $PQ$ ，切点为 $Q$ ，则 $PQ$ 的最小值为________.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C, D, E$ 是 $⊙ O$ 上的点， $H, K$ 是直径 $AB$ 上的点，若 $∠ AHC = ∠ DHB, ∠ DKA = ∠ EKB, \overset{⏜}{AC}$ 的度数是 $20^{\circ}, \overset{⏜}{BE}$ 的度数是 $50^{\circ}$ ，则 $∠ D =$ ________.

如图， $MN$ 是 $⊙ O$ 的直径， $MN = 2$ ，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ AMN = 30^{\circ}, B$ 为弧 $AN$ 的中点， $P$ 是直径 $MN$ 上一动点，则 $PA + PB$ 的最小值为________.

如图，设 $O$ 是锐角 $△ ABC$ 三角形的外心， $D, E$ 分别为线段 $BC, OA$ 的中点， $∠ ACB = 7 ∠ OED, ∠ ABC = 5 ∠ OED$ ，则 $∠ OED =$ ________.

如图，动点 $C$ 在 $⊙ O$ 的弦 $AB$ 上运动， $AB = 2 \sqrt{3}$ ，连接 $OC, CD ⊥ OC$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，则 $CD$ 的最大值为________.

如图，已知 $AC = 1, PA = 2, M$ 是劣弧 $\overset{⏜}{CAB}$ 的中点，且 $MP ⊥ AB$ 于点 $P$ ，则 $PB =$ ________.

如图，以半圆的一条弦 $BC$ （非直径）为对称轴将弧 $BC$ 折叠后与直径 $AB$ 交于点 $D$ ，若 $tan B = \frac{1}{2}$ ，且 $AD = 4$ ，则 $AB =$ ________.

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = AC, ∠ A = 70^{\circ}$ ，延长 $AC$ 至点 $D$ ，使 $CD = BC$ ，点 $P$ 为 $△ ABD$ 的内心，则 $∠ BPC =$ ________.

已知 $△ ABC$ 内接于 $⊙ O, AB = AC, ∠ BAC = 42^{\circ}$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点.

（1）如图①，若 $BD$ 为 $⊙ O$ 的直径，连接 $CD$ ，求 $∠ DBC$ 和 $∠ ACD$ 的大小；

（2）如图②，若 $CD / / BA$ ，连接 $AD$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $OC$ 的延长线交于点 $E$ ，求 $∠ E$ 的大小.

如图，点 $I$ 是 $△ ABC$ 的内心， $AB \neq AC$ ，过点 $I$ 作一圆与边 $AB$ 相切于点 $B$ ，与直线 $AC$ 交于点 $D$ 和点 $E$ ，连接 $BE$ ，若 $∠ ABC = 80^{\circ}, ∠ EBC = 30^{\circ}, \overset{⏜}{BI} = 2 \overset{⏜}{DI}$ ，求 $∠ DIC$ 的大小.

如图，已知在 $△ ABC$ 中， $AB > AC, ∠ A$ 的外角平分线交 $△ ABC$ 的外接圆于点 $E$ ，过 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ，求证: $AB - AC = 2 AF$ .

如图，已知在 $△ ABC$ 中， $AB > AC, ∠ BAC = 45^{\circ}, E$ 是 $∠ BAC$ 的外角平分线与 $△ ABC$ 的外接圆的交点，点 $F$ 在 $AB$ 上且 $EF ⊥ AB$ ，已知 $AF = 1, BF = 5$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

如图， $H$ 为 $△ ABC$ 的垂心， $⊙ O$ 为 $△ ABC$ 的外接圆.点 $E, F$ 为以 $C$ 为圆心， $CH$ 长为半径的圆与 $⊙ O$ 的交点， $D$ 为线段 $EF$ 的垂直平分线与 $⊙ O$ 的交点.

求证：（1） $AC$ 垂直平分线段 $HE$ ；

（2） $DE = AB$ .

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上异于 $A, B$ 的一动点，弦 $AD = 5 \sqrt{3}, ∠ ACD = 60^{\circ}, CA$ ， $CB$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - mx + n = 0$ 的两根，求 $m$ 的最大值.

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 为对角线 $BD$ 上一点，且满足 $∠ ECD = ∠ ACB, AC$ 的延长线与 $△ ABD$ 的外接圆交于点 $F$ ，证明: $∠ DFE = ∠ AFB$ .