全国重点高中提前招生真题过关（十三）-优题课

如图， $△ ABC$ 中， $D, E$ 是 $BC$ 边上的点， $BD : DE : EC = 3 : 2 : 1, M$ 在 $AC$ 边上， $CM : MA = 1 : 2, BM$ 交 $AD, AE$ 于点 $H, G$ ，则 $BH : HG : GM$ 等于（）

A．

$3 : 2 : 1$

B．

$5 : 3 : 1$

C．

$25 : 12 : 5$

D．

$51 : 24 : 10$

如图， $△ ABC$ 中， $BD ⊥ AB, AD = \frac{4}{7} AC, AB = 2, ∠ ABC = 150^{\circ}$ ，则 $△ DBC$ 的面积是（）

A．

$\frac{3 \sqrt{3}}{14}$

B．

$\frac{9 \sqrt{3}}{14}$

C．

$\frac{3 \sqrt{3}}{7}$

D．

$\frac{6 \sqrt{3}}{7}$

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = AC, ∠ A = 36^{\circ}, BD$ 平分 $∠ ABC, DE / / BC$ ，则图中与 $△ ABC$ 相似的三角形（不包括 $△ ABC$ ）的个数有（）

A．

$0$ 个

B．

$1$ 个

C．

$2$ 个

D．

$3$ 个

如图，在 $△ ABC$ 中， $M$ 是边 $AB$ 的中点， $N$ 是边 $AC$ 上的点，且 $\frac{AN}{NC} = 2, CM$ 与 $BN$ 相交于点 $K$ .若 $△ BCK$ 的面积等于 $1$ ，则 $△ ABC$ 的面积等于（）

A．

$3$

B．

$\frac{10}{3}$

C．

$4$

D．

$\frac{13}{3}$

如图，设 $O$ 是四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 的交点.若 $∠ BAD + ACB = 180^{\circ}$ ，且 $BC = 3, AD = 4, AC = 5, AB = 6$ ，则 $\frac{DO}{OB} =$ （）

A．

$\frac{10}{9}$

B．

$\frac{8}{7}$

C．

$\frac{6}{5}$

D．

$\frac{4}{3}$

如图，正方形 $ABCD$ 中， $E, F$ 分别是 $AB, BC$ 上的点， $DE$ 交 $AC$ 于点 $M, AF$ 交 $BD$ 于点 $N$ ，若 $AF$ 平分 $∠ BAC, DE ⊥ AF$ .记 $x = \frac{BN}{ON}$ ， $y = \frac{CF}{BF}, z = \frac{BE}{OM}$ ，则有（）

A．

$x > y > z$

B．

$x = y = z$

C．

$x = y < z$

D．

$x = y > z$

如图， $ABCD$ 是平行四边形， $E$ 为 $CD$ 的中点， $AE$ 和 $BD$ 的交点为 $F, AC$ 和 $BE$ 的交点为 $H, AC$ 和 $BD$ 的交点为 $G$ ，四边形 $EHGF$ 的面积是 $15 {cm}^{2}$ ，则 $ABCD$ 的面积是（）

A．

$120 {cm}^{2}$

B．

$90 {cm}^{2}$

C．

$60 {cm}^{2}$

D．

$180 {cm}^{2}$

如图所示，已知 $△ ABC$ 中， $AE : BE = 1 : 3, BD$ : $DC = 3 : 2, AD$ 与 $CE$ 相交于点 $F$ ，则 $\frac{EF}{FC} + \frac{AF}{FD}$ 的值为（）

A．

$2$

B．

$1$

C．

$\frac{3}{5}$

D．

$\frac{29}{24}$

如图， $BE$ 是 $△ ABC$ 的中线，点 $F$ 在 $BE$ 上，延长 $AF$ 交 $BC$ 于点 $D$ .若 $BF = 3 FE$ ，则 $\frac{BD}{DC} =$ ＿＿＿＿＿.

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ BAD = 120^{\circ}, DE ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$ .连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$ ，交 $CD$ 于点 $G . FH ⊥ CD$ 于点 $H$ ，连接 $CF$ .有下列结论:① $AF = CF$ ；② $A F^{2} = EF \cdot FG$ ；③ $FG : EG = 4 : 5$ ；④ $cos ∠ GFH = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ .

其中所有正确结论的序号为＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $ABCD$ 中， $AB = 1$ ，连接 $AC, ∠ ACD$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$ ，在 $AB$ 上截取 $AF = DE$ ，连接 $DF$ ，分别交 $CE, CA$ 于点 $G, H$ ，点 $P$ 是线段 $GC$ 上的动点， $PQ ⊥ AC$ 于点 $Q$ ，连接 $PH$ .下列结论:① $CE ⊥ DF$ ；② $DE + DC = AC$ ；③ $EA = \sqrt{3} AH$ ；④ $PH + PQ$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .其中正确结论的序号是＿＿＿＿＿.

如图所示，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为 $AB$ 的中点， $AF ⊥ DE$ 于点 $O$ ，则 $\frac{AO}{DO}$ 等于＿＿＿＿＿.

如图，在 $△ ABC$ 和 $△ DEC$ 中， $∠ A = ∠ D, ∠ BCE = ∠ ACD$ .若 $S_{△ ABC}$ : $S_{△ DEC} = 4 : 9, BC = 6$ ，则 $EC$ 的长为＿＿＿＿＿.

如图，已知 $△ ABC$ 中， $D$ 为 $AB$ 边的中点， $G$ 为线段 $CD$ 上一点，且 $CG : GD = 2 : 1$ ，过点 $G$ 的直线分别交 $AC, BC$ 于点 $P, Q$ ，设 $\frac{CP}{CA} = a, \frac{CQ}{CB} = b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为＿＿＿＿＿.

如图，边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $AD$ 的中点.连接 $BE$ ，将 $△ ABE$ 沿 $BE$ 折叠得到 $△ FBE, BF$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，则 $CG$ 的长为＿＿＿＿＿.

如图， $△ ABC$ 的面积为 $24, AD$ 是 $BC$ 边上的中线， $E$ 在 $AD$ 上，且 $AE : ED = 1 : 2, BE$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F$ .则 $△ AEF$ 的面积为＿＿＿＿＿.

如图所示，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上一点，连接 $DE$ ，过顶点 $B$ 作 $BF ⊥ DE$ ，垂足为 $F, BF$ 交边 $DC$ 于点 $G$ .

（1）求证: $GD \cdot AB = DF \cdot BG;$

（2）连接 $CF$ ，求证: $∠ CFB = 45^{\circ}$ .

如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，已知 $∠ ABC + ∠ CDA = 300^{\circ}, AB \cdot CD = BC \cdot AD$ .求证: $AB \cdot CD = AC \cdot BD$ .

如图，等边 $△ ABC$ 中， $D, E$ 分别在 $BC, AC$ 上，且 $BD = CE, AD, BE$ 交于点 $F, EG / / CF$ 交于点 $G$ ，求证: $BF = DG$ .

如图，在 $△ ABC$ 中， $BAC = 90^{\circ}, AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为直角边 $AC$ 的中点，过点 $D, E$ 作直线交 $AB$ 的延长线于点 $F$ .求证: $\frac{AB}{AC} = \frac{DF}{AF}$ .

如图， $BD, CE$ 分别是 $△ ABC$ 的两边上的高，过 $D$ 作 $DG ⊥ BC$ 于点 $G$ ，分别交 $CE$ 及 $BA$ 的延长线于点 $F, H$ .求证:

（1） $D G^{2} = BG \cdot CG$ ；

（2） $BG \cdot CG = GF \cdot GH$ .

如图，四边形 $ABCD, DEFG$ 都是正方形，连接 $AE, CG, AE$ 与 $CG$ 相交于点 $M, CG$ 与 $AD$ 相交于点 $N$ .求证:

（1） $AE = CG;$

（2） $AN \cdot DN = CN \cdot MN$ .

点 $P$ 到图形 $Q$ （可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指点 $P$ 与图形 $Q$ 中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 $PQ$ 的长度都表示点 $P$ 到图形 $Q$ 的距离.

如图②，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $△ ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, 1), B (0, 3), C (6, 3)$ ，点 $P$ 从原点出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度向 $x$ 轴的正方向运动了 $t s$ .

（1）当 $t = 0$ 时，求点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离；

（2）当点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离等于线段 $AP$ 的长度时，求 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离大于 $\sqrt{5}$ 时，求 $t$ 的取值范围.