全国重点高中提前招生真题过关（十六）-优题课

图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $OABC$ .若 $AB = BC = 1, ∠ AOB = α$ ，则 $O C^{2}$ 的值为（）

A．

$\frac{1}{{sin}^{2} α} + 1$

B．

${sin}^{2} α + 1$

C．

$\frac{1}{{cos}^{2} α} + 1$

D．

${cos}^{2} α + 1$

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 $tan 15^{\circ}$ 时，如图所示，在 $R t △ ACB$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, ∠ ABC = 30^{\circ}$ ，延长 $CB$ 使 $BD = AB$ ，连接 $AD$ ，得 $∠ D = 15^{\circ}$ ，所以 $tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CD} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ .类比这种方法，计算 $tan {22.5}^{\circ}$ 的值为（）

A．

$\sqrt{2} + 1$

B．

$\sqrt{2} - 1$

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{1}{2}$

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2, BC = 4, ⊙ D$ 的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 $O$ 重合，绕着 $O$ 点转动三角板，使它的一条直角边与 $⊙ D$ 切于点 $H$ ，此时两直角边与 $AD$ 交于 $E, F$ 两点，则 $tan ∠ EFO$ 的值为（）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{4}{3}$

D．

$\frac{2}{3}$

在直角 $△ ABC$ 中， $∠ B$ 为直角， $∠ A$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D, BC$ 边的中点为 $E$ ，且 $BD : DE : EC = 1 : 2 : 3$ ，则 $sin ∠ BAC =$ （）

A．

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

B．

$\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

C．

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

D．

$\frac{12}{13}$

如图，点 $A$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上一点，过 $A$ 作 $AB / / x$ 轴，交直线 $y = - x$ 于点 $B$ ，点 $D$ 是 $x$ 轴上一点，连接 $BD$ 交双曲线于点 $C$ ，连接 $AD$ ，若 $BC : CD = 3 : 2, △ ABD$ 的面积为 $\frac{11}{4}, tan ∠ ABD = \frac{9}{5}$ ，则 $k$ 的值为（）

A．

$- \frac{3}{4}$

B．

$- 3$

C．

$- 2$

D．

$\frac{3}{4}$

在 $△ ABC$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边，若 $∠ B = 60^{\circ}$ ，则 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{c + b}$ 的值为（）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$1$

D．

$\sqrt{2}$

已知锐角 $△ ABC$ 中，设 $M = sin A + sin B + sin C, N = cos A + cos B + cos C$ ，则 $M, N$ 的大小关系为（）

A．

$M > N$

B．

$M < N$

C．

$M = N$

D．

无法确定

已知 $sin α \cdot cos α = \frac{1}{8}$ ，且 $0^{\circ} < α < 45^{\circ}$ ，则 $cos α - cos α$ 的值为（）

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

$\frac{3}{4}$

D．

$- \frac{3}{4}$

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$ ， $E$ 为 $AB$ 边上一点，以点 D为中心，将 $△ DAE$ 按逆时针方向旋转得 $△ DCF$ ，连接 $EF$ ，分别交 $BD, CD$ 于点 $M, N$ .若 $\frac{AE}{DN} = \frac{2}{5}$ ，则 $sin ∠ EDM =$ ＿＿＿＿＿.

若 $tan α = 3$ ，则 $\frac{sin α \cdot cos α - {sin}^{2} α}{1 + 3 sin α \cdot cos α}$ 的值为＿＿＿＿＿.

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC, E$ 为垂足，若 $cos B = \frac{4}{5}, EC = 2, P$ 是 $AB$ 边上的一个动点，则线段 $PE$ 长度的最小值是＿＿＿＿＿.

如图，已知 $E$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上一动点，正方形 $EFGH$ 的顶点 $F, H$ 分别在边 $AD, EC$ 上，若 $AB = 3, BC = 4$ ，则 $tan ∠ DAG$ 的值为＿＿＿＿＿.

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AD = 5, AB = 12, sin A = \frac{4}{5}$ .过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，则 $sin ∠ BCE =$ ＿＿＿＿＿.

如图，等腰 $△ ABC$ 中， $AC = BC = 10, AB = 12$ ，以 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $G, DF ⊥ AC$ ，垂足为 $F$ ，交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ，则 $sin ∠ E =$ ＿＿＿＿＿.

已知 $△ ABC$ 中，满足 $\frac{1}{tan \frac{A}{2}} + \frac{1}{tan \frac{B}{2}} = \frac{5}{tan \frac{C}{2}}$ ， $AB = 10$ ，则 $AC + BC =$ ＿＿＿＿＿.

已知 $∠ A$ 为锐角，且 $4 {sin}^{2} A - 4 sin A cos A + {cos}^{2} A = 0$ ，则 $tan A =$ ＿＿＿＿＿.

如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ，作 $BC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $AC$ 至点 $E$ ，使 $CE = AB$ .

（1）若 $AE = 1$ ，求 $△ ABD$ 的周长;

（2）若 $AD = \frac{1}{3} BD$ ，求 $tan ∠ ABC$ 的值.

如图，已知 $△ ABC$ 中， $D$ 是 $AB$ 的中点， $DC ⊥ AC, cos ∠ DCB = \frac{4}{5}$ ，求 $sin A$ 的值.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C, D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C$ 是 $\overset{⏜}{BD}$ 的中点，过点 $C$ 作 $AD$ 的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $F$ .

（1）求证: $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线;

（2）若 $\frac{DC}{DF} = \sqrt{6}$ ，求 $cos ∠ ABD$ 的值.

已知 $△ ABC$ 的一边 AC 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + mx + 4 = 0$ 的两个正整数根之一，且另两边长为 $BC = 4, AB = 6$ ，求 $cos A$ 的值.

在 $△ ABC$ 中， $a, b, c$ 分别是 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边，且 $c = 5 \sqrt{3}$ ，若关于 $x$ 的方程 $(5 \sqrt{3} + b) x^{2} + 2 ax + (5 \sqrt{3} - b) = 0$ 有两个相等的实数根，又方程 $2 x^{2} - (10 sin A) x + 5 sin A = 0$ 的两实数根的平方和为 $6$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ B = 36^{\circ}, D$ 为 $BC$ 上一点， $AB = AC = BD = 1$ .

（1）求 $CD$ 的长;

（2）利用此图，求 $sin 18^{\circ}$ 的精确值.

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $OE ⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $BC = 4, △ AOE$ 的面积为 $6$ ，求 $cos ∠ BOE$ 的值.