2025年全国统一高考数学试卷（天津卷）-优题课

已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, A = \{1, 3\}, B = \{2, 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A．

$\{1, 2, 3, 4\}$

B．

$\{2, 3, 4\}$

C．

$\{2, 4\}$

D．

$\{4\}$

设 $x \in R$ ，则“ $x = 0$ ”是“ $\sin 2 x = 0$ ”的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

已知函数 $y = f (x)$ 的图象如下，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A．

$f (x) = \frac{x}{1 - | x |}$

B．

$f (x) = \frac{x}{| x | - 1}$

C．

$f (x) = \frac{| x |}{1 - x^{2}}$

D．

$f (x) = \frac{| x |}{x^{2} - 1}$

若 $m$ 为直线， $α, β$ 为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A．	若 $m // α, n \subset α$ ，则 $m // n$	B．	若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$
C．	若 $m // α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$	D．	若 $m \subset α, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$

下列说法中错误的是（）

A．	若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (X \leq μ - σ) = P (X \geq μ + σ)$
B．	若 $X \sim N (1, 2^{2})$ ， $Y \sim N (2, 2^{2})$ ，则 $P (X < 1) < P (Y < 2)$
C．	$\|r\|$ 越接近 $1$ ，相关性越强
D．	$\|r\|$ 越接近 $0$ ，相关性越弱

$S_{n} = - n^{2} + 8 n$ ，则数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $12$ 项和为（）

A．

$112$

B．

$48$

C．

$80$

D．

$64$

函数 $f (x) = {0.3}^{x} - \sqrt{x}$ 的零点所在区间是（）

A．

$(0, 0.3)$

B．

$(0.3, 0.5)$

C．

$(0.5, 1)$

D．

$(1, 2)$

$f (x) = \sin (ωx + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ ，在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，且 $x = \frac{π}{12}$ 为它的一条对称轴， $(\frac{π}{3}, 0)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为（）

A．

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$- \frac{1}{2}$

C．

$1$

D．

$0$

双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 与双曲线交于第一象限的点P，若 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 3 |F_{1} F_{2}|$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A．

$2$

B．

$5$

C．

$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

已知 $i$ 是虚数单位，则 $|\frac{3+i}{i}| =$ ________．

在 ${(x - 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为________．

$l_{1} : x - y + 6 = 0$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $| AB | = 3 | CD |$ ，则 $r =$ _________．

小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为 $0.5$ ，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为 $0.4$ ，6圈的概率为 $0.6$ ；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为 $0.6$ ，6圈的概率为 $0.4$ ．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E (x) =$ _______.

$△ ABC$ 中， $D$ 为AB边中点， $\vec{CE} = \frac{1}{3} \vec{CD}, \vec{AB} = \vec{a}, \vec{AC} = \vec{b}$ ，则 $\vec{AE} =$ ______（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示），若 $| \vec{AE} | = 5$ ， $AE ⊥ CB$ ，则 $\vec{AE} \cdot \vec{CD} =$ _______.

若 $a, b \in R$ ，对 $\forall x \in [- 2, 2]$ ，均有 $(2 a + b) x^{2} + bx - a - 1 \leq 0$ 恒成立，则 $2 a + b$ 的最小值为_______.

在 $△ ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $c - 2 b = 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ．

（1）求 $A$ 的值；

（2）求 $c$ 的值；

（3）求 $\sin (A + 2 B)$ 的值．

正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点， $CG = 3 G C_{1}$ ．

（1）求证： $GF ⊥$ 平面 $FBE$ ；

（2）求平面 $FBE$ 与平面 $EBG$ 夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D - FBE$ 的体积．

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ， $P$ 为 $x = a$ 上一点，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ ， $△ PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$ （异于点 $A$ ），求证： $P F$ 平分 $∠ AFB$ .

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（2） $\forall n \in N^{*}$ ， $I \in \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + . . . + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，

（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ;

（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

已知函数 $f (x) = ax - {(\ln x)}^{2}$

（1） $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2） $f (x)$ 有 $3$ 个零点， $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .

（i）求 $a$ 的取值范围；

（ii）证明 $(\ln x_{2} - \ln x_{1}) \cdot \ln x_{3} < \frac{4e}{e - 1}$ ．