2012年全国统一高考文科数学试卷（陕西卷）-优题课

集合 $M = \{x | l g x > 0\}$ ， $N = \{x | x^{2} \leq 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A．

(1, 2)

B．

[1, 2)

C．

(1, 2]

D．

[1, 2]

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A．

y = x + 1

B．

y = - x^{2}

C．

y = \frac{1}{x}

D．

y = x |x|

对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）

A．	46，45，56	B．	46，45，53
C．	47，45，56	D．	45，47，53

设 $a, b \in R$ , $i$ 是虚数单位,则 $" a b = 0 "$ 是"复数 $a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数"的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率 $q$ 的程序框图，则图中空白框内应填入（）

A．	$q = \frac{N}{M}$	B．	$q = \frac{M}{N}$
C．	$q = \frac{N}{M + N}$	D．	$q = \frac{M}{M + N}$

已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ , $l$ 过点 $P (3, 0)$ 的直线，则（）

A．	$l$ 与 $C$ 相交	B．	$l$ 与 $C$ 相切
C．	$l$ 与 $C$ 相离	D．	以上三个选项均有可能

设向量 $\overset{⇀}{a} = (1, \cos θ)$ 与 $\overset{⇀}{b} = (- 1, 2 \cos θ)$ 垂直，则 $\cos 2 θ$ 等于（）

A．

\frac{\sqrt{2}}{2}

B．

\frac{1}{2}

C．

0

D．

-1

将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）

设函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ 则（）

A．	$x = \frac{1}{2}$ 为 $f (x)$ 的极大值点	B．	$x = \frac{1}{2}$ 为 $f (x)$ 的极小值点
C．	$x = 2$ 为 $f (x)$ 的极大值点	D．	$x = 2$ 为 $f (x)$ 的极小值点

小王从甲地到乙地的时速分别为 $a 和 b （ a < b ）$ ，其全程的平均时速为 $v$ ，则（）

A．

a < v < \sqrt{a b}

B．

v = \sqrt{a b}

C．

\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}

D．

v = \frac{a + b}{2}

设函数发 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x}, x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ .

观察下列不等式
$1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$

$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{5}{3}$ ……
照此规律，第五个不等式为

在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的长分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2$ ， $B = \frac{π}{6}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，则 $b =$ .

如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.

若存在实数 $x$ 使 $|x - a| + |x - 1| \leq 3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

如图，在圆 $O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 垂直，垂足为 $E$ ， $E F ⊥ D B$ ，垂足为 $F$ ，若 $A B = 6$ ， $A E = 1$ ，则 $D F \cdot D B =$ .

直线 $2 ρ \cos θ = 1$ 与圆 $ρ = 2 \cos θ$ 相交的弦长为.

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - \frac{1}{2}$ .
（1）若 $a_{3}$ =，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和；
（Ⅱ）证明：对任意 $k \in N_{+}$ ， $a_{k}$ ， $a_{k + 2}$ ， $a_{k + 1}$ 成等差数列.

函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B = A A_{1}, ∠ C A B = \frac{π}{2}$ .

（Ⅰ）证明 $C B_{1} ⊥ B A_{1}$ ;
（Ⅱ）已知 $A B = 2, B C = \sqrt{5}$ ,求三棱锥 $C_{1} - A B A_{1}$ 的体积.

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，点 $A, B$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overset{⇀}{O B} = 2 \overset{⇀}{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

设函数 $f_{n} (x) = x^{n} + b x + c (n \in N_{+}, b, c \in R)$

（1）设 $n \geq 2$ ， $b = 1$ , $c = - 1$ ，证明： $f_{n} (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在唯一的零点；
（2）设 $n$ 为偶数， $|f (- 1)| \leq 1$ ， $|f (1)| \leq 1$ ，求 $b + 3 c$ 的最小值和最大值；
（3）设 $n = 2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，有 $|f_{2} (x_{1}) - f_{2} (x_{2})| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；