2012年全国统一高考理科数学试卷（重庆卷）-优题课

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 1, a_{4} = 5$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前5项和 $S_{5} =$ （）

A．

7

B．

15

C．

20

D．

25

不等式 $\frac{x - 1}{2 x + 1} \leq 0$ 的解集为（）

A．	$(- \frac{1}{2}, 1]$	B．	$[- \frac{1}{2}, 1]$
C．	$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup [1, + \infty)$	D．	$[- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, + \infty]$

对任意的实数 $k$ ，直线 $y = k x + 11$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置关系一定是（）

A．	相离	B．	相切
C．	相交但直线不过圆心	D．	相交且直线过圆心

${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项为（）

A．

\frac{35}{16}

B．

\frac{35}{8}

C．

\frac{35}{4}

D．

105

设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两根，则 $\tan (α + β)$ 的值

A．

-3

B．

-1

C．

1

D．

3

设 $x, y \in R$ 向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1), \overset{⇀}{b} = (1, y), \overset{⇀}{c} = (2, - 4)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c}$ ，则 $|\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}| =$ （）

A．

\sqrt{5}

B．

\sqrt{10}

C．

2 \sqrt{5}

D．

10

已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且以2为周期，则" $f (x)$ 为[0,1]上的增函数"是" $f (x)$ 为[3，4]上的减函数"的

A．	既不充分也不必要的条件	B．	充分而不必要的条件
C．	必要而不充分的条件	D．	充要条件

设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导,其导函数为 $f^{`} (x)$ ,且函数 $y = (1 - x) f^{`} (x)$ 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）

A．	函数 $f (x)$ 有极大值 $f (2)$ 和极小值 $f (1)$
B．	函数 $f (x)$ 有极大值 $f (- 2)$ 和极小值 $f (1)$
C．	函数 $f (x)$ 有极大值 $f (2)$ 和极小值 $f (- 2)$
D．	函数 $f (x)$ 有极大值 $f (- 2)$ 和极小值 $f (2)$

设四面体的六条棱的长分别为 $1$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ ， $\sqrt{2}$ 和 $a$ ，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是

A．	$(0, \sqrt{2})$	B．	$(0, \sqrt{3})$
C．	$(1, \sqrt{2})$	D．	$(1, \sqrt{3})$

设平面点集 $A = \{(x, y) | (y - x) (y - \frac{1}{x}) \geq 0\}$ , $B = \{(x - y) | (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为（）

A．

\frac{3}{4} π

B．

\frac{3}{5} π

C．

\frac{4}{7} π

D．

\frac{π}{2}

若 $(1 + i) (2 + i) = a + b i$ ，其中 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，则 $a + b$ =.

$\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 5 n - n}} =$ 。

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos A = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{5}{13}, b = 3$ ,则 $c =$ .

过抛物线 $y = 2 x^{}$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = \frac{25}{12}, |A F| < |B F|$ 则 $|A F|$ =。

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概为（用数字作答）.

设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2 x} + \frac{3}{2} x + 1$ ，其中在 $a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于 $x$ 轴
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 极值．

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

（Ⅰ）求甲获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数 $ξ$ 的分布列与期望

设 $f (x) = 4 \cos (ω x - \frac{π}{6}) - \cos (2 ω x + π)$ ,其中 $ω > 0$

（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的值域；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $[- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}]$  上为增函数，求 $ω$ 的最大值

已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, A C = B C = 3, D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求点 $C$ 到平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的距离;

（Ⅱ）若 $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ，求二面角 $A_{1} - C D - C_{1}$ 的平面角的余弦值.

已知椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，线段 $O F_{1}, O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ , $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，求直线 $l$ 的方程

已知 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_{2} S_{n} + a_{1}$ ，其中 $a_{2} \neq 0$ .

（Ⅰ）求证： ${a_{n}}$ 首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若 $a_{2} > - 1$ ，求证： $S_{n} \leq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ，并给指出等号成立的充要条件.