2012年全国统一高考文科数学试卷（重庆卷）-优题课

命题"若 $p$ 则 $q$ "的逆命题是（）

A．	若 $q$ 则 $p$	B．	若 $\neg p$ 则 $\neg q$
C．	若 $\neg q$ 则 $\neg p$	D．	若 $p$ 则 $\neg q$

不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} < 0$ 的解集是为

A．	$(1, + \infty)$	B．	$(- \infty, - 2)$
C．	（-2，1）	D．	$(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

设 $A, B$ 为直线 $y = x$ 与圆 $x_{2} + y_{2} = 1$  的两个交点，则 $|A B| =$ （）

A．

1

B．

\sqrt{2}

C．

\sqrt{3}

D．

2

$(1 - 3 x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A．

-270

B．

-90

C．

90

D．

270

$\frac{\sin 47^{°} - \sin 17^{°} \cos 30^{°}}{\cos 17^{°}} =$ （）

A．

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B．

- \frac{1}{2}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{\sqrt{3}}{2}

设 $x \in R$ ,向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1), \overset{⇀}{b} = (1, - 2)$ 且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ,则 $|\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}|$ =（）

A．

A.

\sqrt{5}

B．

B.

\sqrt{10}

C．

C.

2 \sqrt{5}

D．

D.

10

已知 $a = \log_{2} 3 + \log_{2} \sqrt{3}, b = \log_{2} 9 - \log_{2} \sqrt{3}, c = \log_{3} 2$ 则 $a, b, c$ 的大小关系是( )

A．	$a = b < c$	B．	$a = b > c$
C．	$a < b < c$	D．	$a > b > c$

设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数 $f ` (x)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值，则函数 $y = x f ` (x)$ 的图象可能是（）

A．		B．
C．		D．

设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1， $\sqrt{2}$ 和 $a$ 且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是（）

A．

(0, \sqrt{2})

B．

(0, \sqrt{3})

C．

(1, \sqrt{2})

D．

(1, \sqrt{3})

设函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3, g (x) = 3^{x} - 2,$ 集合 $M = \{x \in R f (g (x)) > 0\},$ $N = \{x \in R g (x) < 2\},$ 则 $M \cap N$ 为（）

A．

(1, + \infty)

B．

(0, 1)

C．

(- 1, 1)

D．

(- \infty, 1)

首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 $S_{4} =$ .

函数 $f (x) = (x + a) (x - 4)$  为偶函数，则实数 $a =$ .

设 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 1, b = 2, \cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin B$ =

设 $P$ 为直线 $y = \frac{b}{3 a} x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左支的交点， $F_{1}$ 是左焦点， $P F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e =$ .

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{3} = 8, a_{2} + a_{4} = 12$ .

（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{k}, a_{k + 2}$ 成等比数列，求正整数 $k$ 的值.

已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ 在 $x = 2$ 处取得极值为 $c - 16$

（1）求 $a, b$ 的值；
（2）若 $f (x)$ 有极大值28，求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值．

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

（Ⅰ）求乙获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - π < φ < π$ ）在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{π}{2}$ .

（I）求 $f (x)$ 的解析式；

（II）求函数 $g (x) = \frac{6 \cos^{4} x - \sin^{2} x - 1}{f (x + \frac{π}{6})}$ 的值域.

已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, A C = B C = 3$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求异面直线 $C C_{1}$ 和 $A B$ 的距离；
（Ⅱ）若 $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ，求二面角 $A_{1} - C D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

已知椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，线段 $O F_{1}, O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 $B_{1}$ 作直线交椭圆于 $P, Q$ ， $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，求 $△ P B_{2} Q$ 的面积.