2012年全国统一高考文科数学试卷（北京卷）-优题课

已知集合 $A = \{x \in R 3 x + 2 > 0\}, B = \{x \in R (x + 1) (x - 3) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A．

(- \infty, - 1)

B．

(- 1, - \frac{2}{3})

C．

(- \frac{2}{3}, 3)

D．

(3, + \infty)

在复平面内，复数 $\frac{10 i}{3 + i}$ 对应的点的坐标为（）

A．

(1, 3)

B．

(3, 1)

C．

(- 1, 3)

D．

(3, - 1)

设不等式 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq 2 \end{matrix}$ 表示的平面区域为 $D$ ，在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

A．

\frac{π}{4}

B．

\frac{π - 2}{2}

C．

\frac{π}{6}

D．

\frac{4 - π}{4}

执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 的值是（）

A．

2

B．

4

C．

8

D．

16

函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2})^{x}$ 的零点个数为（）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

A．	$a_{1} + a_{3} \geq 2 a_{2}$	B．	${a_{1}}^{2} + {a_{3}}^{2} \geq 2 {a_{2}}^{2}$
C．	若 $a_{1} = a_{3}$ ，则 $a_{1} = a_{2}$	D．	若 $a_{3} > a_{1}$ ，则 $a_{4} > a_{2}$

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A．

28 + 6 \sqrt{5}

B．

30 + 6 \sqrt{5}

C．

56 + 12 \sqrt{5}

D．

60 + 12 \sqrt{5}

某棵果树前 $n$ 年的总产量 $S_{n}$ 与 $n$ 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 $m$ 年的年平均产量最高， $m$ 的值为（）

A．

5

B．

7

C．

9

D．

11

直线 $y = x$ 被圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 截得的弦长为.

已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{2} = a_{3}$ ，则 $a_{2} =$ , $S_{n}$ =.

在 $△ A B C$ 中，若 $a = 3, b = \sqrt{3}, ∠ A = \frac{π}{3}$ ，则 $∠ C$ 的大小.

已知函数 $f (x) = l g x$ ，若 $f (a b) = 1$ ，则 $f (a^{2}) + f (b^{2}) =$ .

已知正方形ABCD的边长为1，点 $E$ 是 $A B$ 边上的动点，则 $\overset{⇀}{D E} \cdot \overset{⇀}{C B}$ 的值是, $\overset{⇀}{D E} \cdot \overset{⇀}{D C}$ 的最大值.

已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3)$ ， $g (x) = 2^{x} - 2$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是.

已知函数 $f (x) = \frac{(\sin x - \cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调递减区间。

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $D, E$ 别为 $A C, A B$ 的中点，点 $F$ 为线段 $C D$ 上的一点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} F ⊥ C D$ ，如图2.

（Ⅰ）求证： $D E ∥$ 平面 $A_{1} C B$ ;

（Ⅱ）求证： $A_{1} F ⊥ B E$ （Ⅲ）线段 $A_{1} B$ 上是否存在点 $Q$ ，使 $A_{1} C ⊥ 平面 D E Q$ ？说明理由.

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

	"厨余垃圾"箱	"可回收物"箱	"其他垃圾"箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率 ;
（3）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为 $a, b, c$ ,其中 $a > 0, a + b + c = 600$ .当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值.
（注： $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - x)^{2} + (x_{2} - x)^{2} + . . . + (x_{n} - x)^{2}]$ ，其中 $x$ 为数据 $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ 的平均数）

已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1 (a > 0), g (x) = x^{3} + b x$ .

（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点 $(1, c)$ 处具有公共切线，求 $a, b$ 的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为28,求 $k$ 的取值范围

已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A$ （2,0），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ 。
（1）求椭圆 $C$ 的方程
（2）当 $△ A M N$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 $k$ 的值。

设 $A$ 是如下形式的2行3列的数表，

$a$	$b$	$c$
$d$	$e$	$f$

满足性质 $P : a, b, c, d, e, f$ $\in [- 1, 1]$ ，且 $a + b + c + d + e + f = 0$

记 $r_{i} (A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（ $i$ =1,2）, $c_{j} (A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（ $j$ =1,2,3）记 $k (A)$ 为 $|r_{1} (A), r_{2} (A), c_{1} (A), c_{2} (A), c_{3} (A)|$ 中的最小值。
（1）对如下表 $A$ ，求 $k (A)$ 的值

1	1	$- 0.8$
$0.1$	$- 0.3$	$- 1$

(2)设数表 $A$ 形如

1	1	- 1 - 2 d
$d$	$d$	- $1$

其中 $- 1 \leq d \leq 0$ ，求 $k (A)$ 的最大值
（3）对所有满足性质P的2行3列的数表 $A$ ，求 $k (A)$ 的最大值。