2012年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）-优题课

$i$ 是虚数单位,复数 $\frac{7 - i}{3 + i} =$ （）

A．

2 + i

B．

2 - i

C．

- 2 + i

D．

- 2 - i

设 $φ \in R$ 则" $φ = 0$ "是" $f (x) = \cos (x + φ), (x \in R)$ 为偶函数"的

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分与不必要条件

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入 $x$ 的值为 $- 25$ 时，输出 $x$ 的值为

A．	-1	B．	1
C．	3	D．	9

函数 $f (x) = 2^{x} + x^{3} - 2$ 在区间(0,1)内的零点个数是（）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

在 $(2 x^{2} - \frac{1}{x})^{5}$ 的二项展开式中， $x$ 的系数为

A．	10	B．	-10
C．	40	D．	-40

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $8 b = 5 c$ ， $C = 2 B$ ，则 $\cos C$ =（）

A．	$\frac{7}{25}$	B．	$- \frac{7}{25}$
C．	$\pm \frac{7}{25}$	D．	$\frac{24}{25}$

已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2$ ，设点 $P, Q$ 满足 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A Q} = (1 - λ) \overset{⇀}{A C}$ ， $λ \in R$ ，若 $\overset{⇀}{B Q} \cdot \overset{⇀}{C P} = \frac{3}{2}$ ，则 $λ$ =

A．	$\frac{1}{2}$	B．	$\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$
C．	$\frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}$	D．	$\frac{- 3 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

设 $m, n \in R$ ,若直线 $(m + 1) x + (n + 1) y - 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切,则 $m + n$ 的取值范围是（）

A．	$[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}]$	B．	$(- \infty, 1 - \sqrt{3}) \cup [1 + \sqrt{3}, + \infty)$
C．	$[2 - 2 \sqrt{2}, 2 + 2 \sqrt{2}]$	D．	$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}] \cup [2 + 2 \sqrt{2}, + \infty)$

某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ），则该几何体的体积为 $m^{3}$ .

已知集合 $A = {x \in R | |x + 2 | < 3}|$ ，集合 $B = {x \in R | (x - m) (x - 2) < 0}$ 且 $A \cap B = (- 1, n)$ 则 $m =$ ， $n =$ .

已知抛物线的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 p t^{2} \\ y = 2 p t \end{cases}$ ( $t$ 为参数),其中 $p > 0$ ,焦点为 $F$ ,准线为 $l$ .过抛物线上一点 $M$ 作 $l$ 的垂线,垂足为 $E$ .若 $|E F| = |M F|$ ,点 $M$ 的横坐标是3,则 $p =$ .

如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $A C$ 的延长线相交于点 $D$ . 过点 $C$ 作 $B D$ 的平行线与圆相交于点 $E$ ，与 $A B$ 相交于点 $F$ ， $A F = 3, F B = 1, E F = \frac{3}{2}$ ，则线段 $C D$ 的长为.

已知函数 $y = \frac{|x^{2} - 1|}{x - 1}$ 的图象与函数 $y = k x - 1$ 的图象恰有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} x - 1, x \in R$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用 $X, Y$ 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $ξ = |X - Y|$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C ⊥ A D, A B ⊥ B C, ∠ B A C = 45^{°}, P A = A D = 2, A C = 1$ .
（Ⅰ）证明 $P C ⊥ A D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，求 $A E$ 的长.

已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, a_{4} + b_{4} = 27$ ， $S_{4} - b_{4} = 10$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明 $T_{n} + 12 = - 2 a_{n} + 10 b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $|A P| = |O A|$ ，证明直线 $O P$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| > \sqrt{3}$

已知函数 $f (x) = x - \ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$

（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（Ⅲ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2, (n \in N^{*})$ .