2012年全国统一高考理科数学试卷（大纲卷）-优题课

复数 $\frac{- 1 + 3 i}{1 + i}$ =(  )

A．

2 + i

B．

2 - i

C．

1 + 2 i

D．

1 - 2 i

已知集合 $A = \{1, 3, \sqrt{m}\}, B = \{1, m\}, A \cup B = A$ ,则 $m =$ （）

A．

0或

\sqrt{3}

B．

0或3

C．

1或

\sqrt{3}

D．

1或3

椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为 $x = - 4$ ,则该椭圆的方程为（）

A．	$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$	B．	$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$
C．	$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$	D．	$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ E为 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A C_{1}$ 与平面 $B E D$ 的距离为（）

A．

2

B．

\sqrt{3}

C．

\sqrt{2}

D．

1

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 5, S_{5} = 15$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n - 1}}}$ 的前100项和为

A．

\frac{100}{101}

B．

\frac{99}{101}

C．

\frac{99}{100}

D．

\frac{101}{100}

$△ A B C$ 中， $A B$ 边的高为 $C D$ ，若 $\vec{C B} = \overset{⇀}{a}, \vec{C A} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 0, |\overset{⇀}{a}| = 1, |\overset{⇀}{b}| = 2$ ，则 $\vec{A D}$ =

A．	$\frac{1}{3} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{b}$	B．	$\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{b}$
C．	$\frac{3}{5} \overset{⇀}{a} - \frac{3}{5} \overset{⇀}{b}$	D．	$\frac{4}{5} \overset{⇀}{a} - \frac{4}{5} \overset{⇀}{b}$

已知 $α$ 为第二象限角, $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A．

-

\frac{\sqrt{5}}{3}

B．

-

\frac{\sqrt{5}}{9}

C．

\frac{\sqrt{5}}{9}

D．

\frac{\sqrt{5}}{3}

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $|P F_{1}| = |2 P F_{2}|$ ，则 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} =$

A．

\frac{1}{4}

B．

\frac{3}{5}

C．

\frac{3}{4}

D．

\frac{4}{5}

已知 $x = \ln π$ ， $y = \log_{5} 2$ ， $z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则

A．

x ＜ y ＜ z

B．

z ＜ x ＜ y

C．

z ＜ y ＜ x

D．

y ＜ z ＜ x

已知函数 $y = x^{2} - 3 x + c$ 的图像与 $x$ 恰有两个公共点，则 $c =$

A．

-2或2

B．

-9或3

C．

-1或1

D．

-3或1

将字母 $a, a, b, b, c, c$ ,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有（）

A．

12种

B．

18种

C．

24种

D．

36种

正方形 $A B C D$ 的边长为1，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上， $A E ＝ B F ＝ \frac{7}{3}$ .动点 $P$ 从 $E$ 出发沿直线喜爱那个 $F$ 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点 $P$ 第一次碰到 $E$ 时， $P$ 与正方形的边碰撞的次数为（）

A．

16

B．

14

C．

12

D．

10

若 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y + 1 ⩾ 0 \\ x + y - 3 ⩽ 0 \\ x + 3 y - 3 ⩾ 0 \end{matrix}$ ,则 $z = 3 x - y$ 的最小值为.

当函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x (0 \leq x \leq 2 π)$ 取得最大值时， $x$ =.

若 ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为.

三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $B A A_{1} = C A A_{1} = 60^{°}$ 则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为.

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos (A - C) + \cos B = 1$ ， $a = 2 c$ ，求 $c$

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 上的一点， $P E = 2 E C$ .

（Ⅰ）证明： $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；
（Ⅱ）设二面角 $A - P B - C$ 为 $90^{°}$ ，求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ） $ξ$ 表示开始第4次发球时乙的得分，求 $ξ$ 的期望。

设函数 $f (x) = a x + \cos x, x \in [0, π]$ 。
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $f (x) \leq 1 + \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围。

已知抛物线 $C :$ $y = (x + 1)^{2}$ 与圆 $M :$ $(x - 1)^{2} + (y - 2) 2 = r^{2} (r ＞ 0)$ 有一个公共点，且在 $A$ 处两曲线的切线为同一直线 $l$ .
（Ⅰ）求 $r$ ；
（Ⅱ）设 $m$ 、 $n$ 是异于 $l$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线， $m$ 、 $n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $l$ 的距离.

函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，定义数列 ${x_{n}}$ 如下: $x_{1} = 2$ ， $x_{n + 1}$ 是过两点 $P (4, 5 ）$ 、 $Q_{n} (x_{n}, f (x_{n}))$ 的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
（Ⅰ）证明： $2 x_{n} ＜ x_{n + 1} ＜ 3$ ；
（Ⅱ）求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式。