2012年全国统一高考文科数学试卷（大纲卷）-优题课

已知集合 $A = {x x$ 是平行四边形 $}$ ， $B = {x x$ 是矩形， $C = {x x$ 是正方形 $}$ ，是菱形 $}$ ，则（）

A．

A \subseteq B

B．

C \subseteq B

C．

D \subseteq C

D．

A \subseteq D

函数 $y = \sqrt{x + 1} (x \geq - 1)$ 的反函数为

A．	$y = x^{2} - 1 (x \geq 0)$	B．	$y = x^{2} - 1 (x \geq 1)$
C．	$y = x^{2} + 1 (x \geq 0)$	D．	$y = x^{2} + 1 (x \geq 1)$

若函数 $f (x) = \sin \frac{x + φ}{3} (φ \in [0, 2 π])$ 是偶函数，则 $φ =$ （）

A．

\frac{π}{2}

B．

\frac{2 π}{3}

C．

\frac{3 π}{2}

D．

\frac{5 π}{3}

已知 $α$ 为第二象限角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A．

- \frac{24}{25}

B．

- \frac{12}{25}

C．

\frac{12}{25}

D．

\frac{24}{25}

椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 $x = - 4$ ，则该椭圆的方程为

A．	$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$	B．	$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$
C．	$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$	D．	$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , $a_{1} = 1, S_{n} = 2 a_{n + 1}$ ,则（）

A．

2^{n - 1}

B．

{(\frac{3}{2})}^{n - 1}

C．

{(\frac{2}{3})}^{n - 1}

D．

\frac{1}{2^{n - 1}}

位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（）

A．

种

B．

种

C．

种

D．

种

已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A C_{1}$ 与平面 $B E D$ 的距离为（）

A．

2

B．

\sqrt{3}

C．

\sqrt{2}

D．

1

$△ A B C$ 中， $A B$ 边的高为 $C D$ ，若 $\underset{C B}{\to} = \underset{a}{\to}$ ， $\underset{C A}{\to} = \underset{b}{\to}$ ， $\underset{a}{\to} . \underset{b}{\to} = 0$ ， $|\underset{a}{\to}| = 1$ ， $|\underset{b}{\to}| = 2$ ，则 $\underset{A D}{\to} =$ （）

A．

\frac{1}{3} \underset{a}{\to} - \frac{1}{3} \underset{b}{\to}

B．

\frac{2}{3} \underset{a}{\to} - \frac{2}{3} \underset{b}{\to}

C．

\frac{3}{5} \underset{a}{\to} - \frac{3}{5} \underset{b}{\to}

D．

\frac{4}{5} \underset{}{\to - \frac{4}{5} \underset{b}{\to}}

已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的左 $、$ 右焦点,点 $P$ 在 $C$ 上, $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ,则 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A．

\frac{1}{4}

B．

\frac{3}{5}

C．

\frac{3}{4}

D．

\frac{4}{5}

已知 $x = lnπ$ ， $y = \log_{5} 2$ ， $z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A．

x < y < z

B．

z < x < y

C．

z < y < x

D．

y < z < x

正方形 $A B C D$ 的边长为1，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上， $A E = B F = \frac{1}{3}$ .动点 $P$ 从 $E$ 出发沿直线向 $F$ 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 $P$ 第一次碰到 $E$ 时， $P$ 与正方形的边碰撞的次数为( )

A．

8

B．

6

C．

4

D．

3

${(x + \frac{1}{2 x})}^{8}$ 的展开式中 ${x^{2}}^{}$ 的系数为.

若 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x + 3 y - 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为.

当函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x (0 \leq x \leq 2 π)$ 取得最大值时， $x =$ .

已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $B B_{1}$ 的中点，那么异面直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 所成角的余弦值为.

$△ A B C$ ，内角 $A, B, C$ 成等差数列，其对边 $a, b, c$ 满足 $2 b^{2} = 3 a c$ ，求 $A$ .

已知数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1}$ =1，前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n + 2}{3} a_{n_{}}$ .
（Ⅰ）求 $a_{2}, a_{3_{}}$

(Ⅱ)求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式。

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}, P A = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 上的一点， $P E = 2 E C$ .

（I）证明 $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；
（II）设二面角 $A - P B - C$ 为 $90^{°}$ ,求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小.

乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（I）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x$

（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 若过两点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ 的直线I与 $x$ 轴的交点在曲线 $y = f (x)$ 上，求 $a$ 的值。

已知抛物线 $C : y = {(x + 1)}^{2}$ 与圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有一个公共点 $A$ ，且在 $A$ 处两曲线的切线与同一直线 $l$ .

（I)求 $r$ ；
（II)设 $m, n$ 是异于 $l$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线， $m, n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $l$ 的距离。