2012年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）-优题课

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{5 + 3 i}{4 - i}$ =（）

A．

1 - i

B．

- 1 + i

C．

1 + i

D．

- 1 - i

设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{cases}$ ,则目标函数 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值为（）

A．

-5

B．

-4

C．

-2

D．

3

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A．

8

B．

18

C．

26

D．

80

已知 $a = 2^{12}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.8}$ , $c = 2 \log_{5} 2$ 则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A．

c < b < a

B．

c < a < b

C．

b < a < c

D．

b < c < a

设 $x \in R$ ，则" $x > \frac{1}{2}$ "是" $2 x^{2} + x - 1 > 0$ "的（）

A．	充分而不必要条件
B．	必要而不充分条件
C．	充分必要条件
D．	既不充分也不必要条件

下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）

A．	$y = \cos 2 x, x \in R$
B．	$y = \log_{2} \|x\|, x \in R$ 且 $x \neq 0$
C．	$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, x \in R$
D．	$y = x^{3} + 1, x \in R$

将函数 $f (x) = \sin ω x$ （其中 $ω > 0$ ）的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图像经过点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值是

A．

\frac{1}{3}

B．

1

C．

\frac{5}{3}

D．

2

在 $∆ A B C$ 中， $∠ A = 90^{°}, A B = 1$ ，设点 $P, Q$ 满足 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B}, \overset{⇀}{A Q} = (1 - λ) \overset{⇀}{A C}, λ \in R$ .若 $\overset{⇀}{B Q} \cdot \overset{⇀}{C P} = - 2$ ，则 $λ =$ （）

A．

\frac{1}{3}

B．

\frac{2}{3}

C．

\frac{4}{3}

D．

2

集合 $A = \{x |x - 2| \leq 5\}$ 中最小整数位.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ）,则该几何体的体积为 .

已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有相同的渐近线,且 $C_{1}$ 的右焦点为 $F (\sqrt{5}, 0)$ ,则 $a =$ , $b =$ .

设 $m, n \in R$ ,若直线 $l : m x + n y - 1 = 0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ,与 $y$ 轴相交于 $B$ ,且 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交所得弦的长为2, $O$ 为坐标原点,则 $∆ A O B$ 面积的最小值为.

如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $A C$ 的延长线相交于 $D$ .过点 $C$ 作 $B D$ 的平行线与圆交于点 $E$ ,与 $A B$ 相交于点 $F$ , $A F = 3$ , $F B = 1$ , $E F = \frac{3}{2}$ ,则线段 $C D$ 的长为.

已知函数 $y = \frac{|x^{2} - 1|}{x - 1}$ 的图像与函数 $y = k x$ 的图像恰有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
  (1)列出所有可能的抽取结果；
  (2)求抽取的2所学校均为小学的概率。

在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的分别是 $a$ , $b$ ， $c$ .已知 $a = 2$ ， $c = \sqrt{2}$ , $\cos A = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ .
（I）求 $\sin C$ 和 $b$ 的值；
（II）求 $\cos (2 A + \frac{π}{3})$ 的值.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $A D ⊥ P D$ ， $B C = 1$ ， $P C = 2 \sqrt{3}$ ， $P D = C D = 2$ .
（1）求异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的正切值；
（2）证明平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$

（3）求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值。

已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + b_{1} = 2, a_{4} + b_{4} = 27, S_{4} - b_{4} = 10$ .
（I）求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）记 $T_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} b_{n}, n \in N^{+}$ ,求证： $T_{n} - 8 = a_{n + 1} b_{n + 1}, n \in N^{+}, n > 2$ .

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,点 $P (\frac{\sqrt{5}}{5} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ 在椭圆上.
（I）求椭圆的离心率.
（II）设 $A$ 为椭圆的右顶点， $O$ 为坐标原点，若 $Q$ 在椭圆上且满足 $| A Q | = | A O |$ ，求直线 $O Q$ 的斜率的值.

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 - a}{2} x - a x - a, x \in R$ 其中 $a > 0$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a = 1$ 时，设函数 $f (x)$ 在区间 $[t, t + 3]$ 上的最大值为 $M (t)$ ，最小值为 $m (t)$ ,记 $g (t) = M (t) - m (t)$ ,求函数 $g (t)$ 在区间[-3，-1]上的最小值。