2007年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）-优题课

复数 $\frac{1 + i}{1 - i} + i^{3}$ 的值是（　　）

A．

0

B．

1

C．

-1

D．

函数 $f (x) = 1 + \log_{2} x$ 与 $g (x) = 2^{- x + 1}$ 在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

$\underset{x \to 1}{l i m} \frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} - x - 1} =$ （）

A．

0

B．

1

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{2}{3}

如图， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，下面结论错误的是（　　）

A．	$B D / / 平面 C B_{1} D_{1}$
B．	$A C_{1} ⊥ B D$
C．	$A C_{1} / / 平面 C B_{1} D_{1}$
D．	异面直线 $A D$ 与 $C B_{1}$ 所成的角为 $60 °$

如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是2，那么点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是（　　）

A．

\frac{4 \sqrt{6}}{3}

B．

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

C．

2 \sqrt{6}

D．

2 \sqrt{3}

设球 $O$ 的半径是1， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是球面上三点，已知 $A$ 到 $B$ 、 $C$ 两点的球面距离都是 $\frac{π}{2}$ ，且二面角 $B - O A - C$ 的大小是 $\frac{π}{3}$ ，则从 $A$ 点沿球面经 $B$ 、 $C$ 两点再回到 $A$ 点的最短距离是（）

A．

\frac{7 π}{6}

B．

\frac{5 π}{4}

C．

\frac{4 π}{3}

D．

\frac{3 π}{2}

设 $A (a, 1)$ ， $B (2, b)$ ， $C (4, 5)$ 为坐标平面上三点， $O$ 为坐标原点，若 $\underset{O A}{\to}$ 与 $\underset{O B}{\to}$ 在 $\underset{O C}{\to}$ 方向上的投影相同，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为（）

A．

4 a - 5 b = 3

B．

5 a - 4 b = 3

C．

4 a + 5 b = 14

D．

5 a + 4 b = 14

已知抛物线 $y = - x^{2} + 3$ 上存在关于直线 $x + y = 0$ 对称的相异两点 $A 、 B$ ,则 $|A B|$ 等于（）

A．

3

B．

4

C．

3 \sqrt{2}

D．

4 \sqrt{2}

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\frac{2}{3}$ 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）

A．

36万元

B．

31.2万元

C．

30.4万元

D．

24万元

用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（）

A．

288个

B．

240个

C．

144个

D．

126个

如图， $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 是同一平面内的三条平行直线， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是1， $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 间的距离是2，正三角形 $A B C$ 的三顶点分别在 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 上，则 $∆ A B C$ 的边长是（）

A．	$2 \sqrt{3}$	B．	$\frac{4 \sqrt{6}}{3}$
C．	$\frac{3 \sqrt{17}}{4}$	D．	$\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

已知一组抛物线 $y = \frac{1}{2} a x^{2} + b x + 1$ ，其中 $a$ 为2、4、6、8中任取的一个数， $b$ 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 $x = 1$ 交点处的切线相互平行的概率是（）

A．

B．

C．

D．

若函数 $f (x) = e^{- (x - μ)^{2}}$ （ $e$ 是自然对数的底数）的最大值是 $m$ ，且 $f (x)$ 是偶函数，则 $m + μ =$

如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,侧棱长为 $\sqrt{2}$ ,底面三角形的边长为1,则 $B C_{1}$ 与侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角是 .

已知 $⊙ O$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} - 2 = 0$ ， $⊙ O `$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 = 0$ ，由动点向 $⊙ O$ 和 $⊙ O `$ 所引的切线长相等，则动点 $P$ 的轨迹方程是

下面有5个命题：
①函数 $y = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ 的最小正周期是 $π$ ．
②终边在 $y$ 轴上的角的集合是 $\{α α = \frac{k π}{2}, k \in Z\}$

③在同一坐标系中，函数 $y = \sin x$ 的图象和函数 $y = x$ 的图象有3个公共点．
④把函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象．
⑤函数 $y = \sin (x - \frac{π}{2})$ 在 $[0, π]$ 上是减函数．
其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）

已知 $\cos α = \frac{1}{7}$ , $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ ，且 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ .

(Ⅰ)求 $\tan 2 a$ 的值.
（Ⅱ）求 $β$ .

如图， $P C B M$ 是直角梯形， $∠ P C B = 90^{°}$ ， $P M$ $∥$ $B C$ ， $P M = 1$ ， $B C = 2$ ，又 $A C = 1$ ， $∠ A C B = 120^{°}$ ， $A B ⊥ P C$ ，直线 $A M$ 与直线 $P C$ 所成的角为 $60^{°}$ .

（Ⅰ）求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ;
（Ⅱ）求二面角 $M - A C - B$ 的大小;
（Ⅲ）求三棱锥 $P - M A C$ 的体积.