2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国新课标-优题课

已知集合 $A = {|x| \leq 2, x \in R}$ , $B = {x | \sqrt{x} \leq 4, x \in Z}$ ,则 $A \cap B =$ ( ).

A．

(0, 2)

B．

[0, 2]

C．

(0, 2]

D．

{0, 1, 2}

已知复数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{{(1 - \sqrt{3} i)}^{2}}$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}$ =（）

A．

\frac{1}{4}

B．

\frac{1}{2}

C．

1

D．

2

曲线 $y = \frac{x}{x + 2}$ 在点 $(- 1, - 1)$ 处的切线方程为（）

A．	$y = 2 x + 1$
B．	$y = 2 x - 1$
C．	$y = - 2 x - 3$
D．	$y = - 2 x - 2$

如图,质点 $P$ 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为 $P_{0} (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ,角速度为1,那么点P到 $x$ 轴距离 $d$ 关于时间 $t$ 的函数图像大致为（）

A．		B．
C．		D．

已知命题
$p_{1}$ ：函数 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ 在 $R$ 为增函数，
$p_{2}$ ：函数 $y = 2^{x} + 2^{- x}$ 在 $R$ 为减函数，
则在命题 $q_{1} : p_{1} \lor p_{2}$ ， $q_{2} : p_{1} \land p_{2}$ , $q_{3} : (- p_{1}) \lor p_{2}$ ，和 $q_{4} : p_{1} \land (- p_{2})$ 中，真命题是（）

A．

q_{1}, q_{3}

B．

q_{2}, q_{3}

C．

C.

q_{1}, q_{4}

D．

q_{2}, q_{4}

某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为（）.

A．

100

B．

200

C．

300

D．

400

如果执行右面的框图，输入 $N = 5$ ，则输出的数等于

A．	$\frac{5}{4}$
B．	$\frac{4}{5}$
C．	$\frac{6}{5}$
D．	$\frac{5}{6}$

设偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{3} - 8 (x \geq 0)$ ，则 ${x f (x - 2) > 0}$ =

A．	${x x < - 2 或 x > 4}$	B．	${x x < 0 或 x > 4}$
C．	${x x < 0 或 x > 6}$	D．	${x x < - 2 或 x > 2}$

若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\frac{1 + \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2}} =$ （）

A．

- \frac{1}{2}

B．

\frac{1}{2}

C．

2

D．

-2

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 $a$ ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ).

A．

π a^{2}

B．

\frac{7}{3} π a^{2}

C．

\frac{11}{3} π a^{2}

D．

5 π a^{2}

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |l g x|, 0 \leq x \leq 10 \\ - \frac{1}{2} x + 6, x > 10 \end{cases}$ ,若 $a, b, c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ 则 $a b c$ 的取值范围是（）

A．

(1, 10)

B．

(5, 6)

C．

(10, 12)

D．

(20, 24)

已知双曲线 $E$ 的中心为原点， $P (3, 0)$ 是 $E$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B$ 的中点为 $N (- 12, - 15)$ ,则 $E$ 的方程式为（）.

A．

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1

B．

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1

C．

\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1

D．

\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1

设 $y = f (x)$ 为区间 $[0, 1]$ 上的连续函数,且恒有 $0 \leq f (x) \leq 1$ ,可以用随机模拟方法近似计算积分 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ ，先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0, 1]$ 上的均匀随机数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}$ ，由此得到 $N$ 个点 $(x_{1}, y_{1}) (i = 1, 2, \dots, N)$ ,再数出其中满足 $y_{1} = f (x_{1}) (i = 1, 2, \dots, N)$ 的点数 $N_{1}$ ，那么由随机模拟方案可得积分 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ 的近似值为 .

正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）.

过点 $A (4, 1)$ 的圆 $C$ 与直线 $x - y = 0$ 相切于点 $B (2, 1)$ ，则圆 $C$ 的方程为.

在 $∆ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $B D = \frac{1}{2} D C, ∠ A D B = 120^{°}, A D = 2$ ，若 $∆ A D C$ 的面积为 $3 - \sqrt{3}$ ，则 $∠ B A C$ =.

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 3 \times 2^{2 n - 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形， $A B / / C D, A C ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ ， $P H$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $A D$ 中点.
（1）证明： $P E ⊥ B C$ ;

（2）若 $∠ A P B = ∠ A D B = 60^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P E H$ 所成角的正弦值.

1 (2).png

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有 $99 %$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E :\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 斜率为1的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}|$ $,|A B|,|B F_{2}|成等差数列.（1）求E的离心率；（2）设点p (0, - 1)满足|P A| = |P B|，求E的方程.$

设函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x - a x^{2}$ 。
（1）若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若当 $x \geq 0$ 时 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

如图，已经圆上的弧 $\overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$ ，过 $C$ 点的圆切线与 $B A$ 的延长线交于 $E$ 点，证明：
（Ⅰ） $∠ A C E = ∠ B C D$ ；
（Ⅱ） $B C^{2} = B F \times C D$ .

已知直线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + t \cos a \\ y = t \sin a \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $C_{2} : {\begin{matrix} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），
（Ⅰ）当 $a = \frac{π}{3}$ 时，求 $C_{1_{}}$ 与 $C_{2}$ 的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 $O$ 做 $C_{1_{}}$ 的垂线，垂足为 $P$ ， $P$ 为 $O A$ 中点，当 $a$ 变化时，求 $P$ 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

设函数 $f (x) = |2 x - 4| + 1$

（Ⅰ）画出函数 $y = f (x)$ 的图像
（Ⅱ）若不等式 $f (x) \leq a x$ 的解集非空，求 $a$ 的取值范围.