2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）文科数学-优题课

设全集 $U = \{x \in N^{*} | x < 6\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ , $B = \{3, 5\}$ ，则 $C_{u} (A \cup B) =$ （）

A．

\{1, 4\}

B．

\{1, 5\}

C．

\{2, 4\}

D．

\{2, 5\}

$不等式$ $\frac{x - 3}{x + 2}$ $<$ 0 $的$ $解集为$ （）

A．

\{x - 2 < x < 3\}

B．

\{x x < - 2\}

C．

\{x x < - 2 或 x > 3\}

D．

\{x x > 3\}

已知 $\sin α = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (x - 2 α) =$ （）

A．

- \frac{\sqrt{5}}{3}

B．

- \frac{1}{9}

C．

\frac{1}{9}

D．

\frac{\sqrt{5}}{3}

函数 $y = 1 + \ln (x - 1) (x > 1)$ 的反函数是（）.

A．	$y = e^{x + 1} - 1 (x > 0)$	B．	$y = e^{x - 1} + 1 (x > 0)$
C．	$y = e^{x + 1} - 1 (x \in R)$	D．	$y = e^{x - 1} + 1$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq - 1 \\ y \geq x \\ 3 x + 2 y \leq 5， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如果等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 12$ ,那么 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{7} =$ （）.

A．

14

B．

21

C．

28

D．

35

若曲线 $y = x^{2} + a x + b$ 在点 $(0, b)$ 处的切线方程是 $x - y + 1 = 0$ ，则

A．	$a = 1, b = 1$	B．	$a = - 1, b = 1$
C．	$a = 1, b = - 1$	D．	$a = - 1, b = - 1$

已知三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为边长等于2的等边三角形， $S A$ 垂直于底面 $A B C$ ， $S A = 3$ ，那么直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值为（）

A．	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	B．	$\frac{\sqrt{5}}{4}$
C．	$\frac{\sqrt{7}}{4}$	D．	$\frac{3}{4}$

将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )

A．

12种

B．

18种

C．

36种

D．

54种

$△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $\overset{⇀}{C B}$ = $a$ , $\overset{⇀}{C A}$ = $b$ , $|a|$ =1， $|b|$ =2, 则 $\overset{⇀}{C D}$ =（）

A．

\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b

B．

\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b

C．

\frac{3}{5} a + \frac{4}{5} b

D．

\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b

与正方体_{$A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$}的三条棱_{$A B, C C_{1}, A_{1} D_{1}$}所在直线的距离相等的点（）

A．

有且只有1个

B．

有且只有2个

C．

有且只有3个

D．

有无数个

已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0 ）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点F且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线于 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\overset{⇀}{A F} = 3 \overset{⇀}{F B}$ 。则 $k =$ （）.

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

2

已知 $α$ 是第二象限的角, $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos α =$ .

$(\frac{x + 1}{x})^{9}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是 .

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线l，过 $M (1, 0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $l$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则 $p =$

已知球 $O$ 的半径为4，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆， $A B$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦， $A B = 4$ ，若 $O M = O N = 3$ ，则两圆圆心的距离 $M N =$ 。

$△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上的一点， $B D = 33, \sin B = \frac{5}{13}, \cos ∠ A D C = \frac{3}{5}$ ，求 $A D$ .

已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = 2 (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}})$ ， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 64 (\frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}})$

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = {(a_{n} + \frac{1}{a_{n}})}^{2}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点， $A E = 3 E B_{1}$

（Ⅰ）证明： $D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为45°,求二面角 $A_{1} - A C_{1} - B_{1}$ 的大小

如图，由 $M$ 到 $N$ 的电路中有4个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电源能通过 $T_{1}, T_{2}, T_{3},$ 的概率都是 $P$ ，电源能通过 $T_{4}$ 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
（Ⅰ）求 $P$ ；
（Ⅱ）求电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率.

已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 3 x + 1$ .

（Ⅰ）设 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的单调期间；
（Ⅱ）设 $f (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 中至少有一个极值点，求 $a$ 的取值范围.

已知斜率为1的直线 $l$ 与双曲线 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $B D$ 的中点为 $M (1, 3)$ $e = 2$

（Ⅰ）求 $C$ 的离心率；

（Ⅱ）设 $C$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ， $| D F | \cdot | B F | = 17$ .证明：过 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点的圆与x轴相切。