2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国2）数学（理科）-优题课

复数 $(\frac{3 - i}{1 + i})^{2} =$ ( ).

A．

- 3 - 4 i

B．

- 3 + 4 i

C．

3 - 4 i

D．

3 + 4 i

函数 $y = \frac{1 + \ln (x - 1)}{2} (x > 1)$ 的反函数是

A．	$y = e^{2 x + 1} - 1 (x > 0)$	B．	$y = e^{2 x + 1} + 1 (x > 0)$
C．	$y = e^{2 x + 1} - 1 (x \in R)$	D．	$y = e^{2 x + 1} + 1 (x \in R)$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq x \\ 3 x + 2 y \leq 5 \end{matrix}$ ,则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如果等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 12$ ，那么 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ （）

A．

14

B．

21

C．

28

D．

35

不等式 $\frac{x^{2} - x - 6}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A．	$\{x \| x < - 2, 或 x > 3\}$	B．	$\{x \| x < - 2, 或 1 < x < 3\}$
C．	$\{x \| - 2 < x < 1, 或 x > 3\}$	D．	$\{x \| - 2 < x < 1, 或 1 < x < 3\}$

将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）

A．

12种

B．

18种

C．

36种

D．

54种

为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需把函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像（）

A．	向左平移 $\frac{π}{4}$ 个长度单位	B．	向右平移 $\frac{π}{4}$ 个长度单位
C．	向左平移 $\frac{π}{2}$ 个长度单位	D．	向右平移 $\frac{π}{2}$ 个长度单位

$△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上， $C D$ 平方 $∠ A C B$ ．若 $\overset{⇀}{C B} = a$ ， $\overset{⇀}{C A} = b$ ， $|a| = 1$ ， $|b| = 2$ ，则 $\overset{⇀}{C D} =$

A．

\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b

B．

\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b

C．

\frac{3}{5} a + \frac{4}{5} b

D．

\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b

已知正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = 2 \sqrt{3}$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )

A．

1

B．

\sqrt{3}

C．

2

D．

3

若曲线 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 在点 $(a, a^{- \frac{1}{2}})$ 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 $a =$ ( )

A．

64

B．

32

C．

16

D．

8

与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B, C C_{1}, A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点( )

A．	有且只有1个	B．	有且只有2个
C．	有且只有3个	D．	有无数个

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点．若 $\overset{⇀}{A F} = 3 \overset{⇀}{F B}$ ，则 $k =$

A．

1

B．

\sqrt{2}

C．

\sqrt{3}

D．

2

已知 $a$ 是第二象限的角， $\tan (π + 2 a) = - \frac{4}{3}$ ，则 $\tan a =$ ．

若 ${(x - \frac{a}{x})}^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $- 84$ ，则 $a =$ ．

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l$ ，过 $M (1, 0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $l$ 相交于点 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ．若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则 $P =$ ．

已知球 $O$ 的半径为4,圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆, $A B$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦, $A B = 4$ .若 $O M = O N = 3$ ,则两圆圆心的距离 $M N =$ ．

$△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上的一点， $B D = 33$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ， $\cos ∠ A D C = \frac{3}{5}$ ，求 $A D$ ．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n^{2} + n) 3^{n}$ ．
（Ⅰ）求 $\underset{S \to \infty}{l i m} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ ；
（Ⅱ）证明： $\frac{a_{1}}{1^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + . . . + \frac{a_{n}}{n^{2}} > 3^{n}$ ．

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点， $A E = 3 E B_{1}$ ．

（Ⅰ）证明： $D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为45°，求二面角 $A_{1} - A C_{1} - B_{1}$ 的大小．

如图，由 $M$ 到 $N$ 的电路中有4个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 的概率都是 $p$ ，电流能通过 $T_{4}$ 的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求 $p$ ；
（Ⅱ）求电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率；
（Ⅲ） $ξ$ 表示 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ 中能通过电流的元件个数，求 $ξ$ 的期望．

己知斜率为1的直线 $l$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $B D$ 的中点为 $M (1, 3)$ ．
（Ⅰ）求 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）设 $C$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ， $|D F| |B F| = 17$ ，证明：过 $A, B, D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切．

设函数 $f (x) = 1 - e^{- x}$ ．
（Ⅰ）证明：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq \frac{x}{x + 1}$ ；
（Ⅱ）设当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq \frac{x}{a x + 1}$ ，求 $a$ 的取值范围．