2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）理科数学全解全析-优题课

复数 $\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i} =$ （）

A．

i

B．

- i

C．

12 - 13 i

D．

12 + 13 i

记 $\cos (- 80 °) = k$ ，那么 $\tan 100 ° =$ （）

A．

\frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{k}

B．

- \frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{k}

C．

\frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}

D．

- \frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} \begin{matrix} y \leq 1, \\ x + y \geq 0, \\ x - y - 2 \leq 0, \end{matrix} \end{cases}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{2} a_{3} = 5, a_{7} a_{8} a_{9} = 10$ =，则 $a_{4} a_{5} a_{6}$ =( )

A．

5 \sqrt{2}

B．

7

C．

6

D．

4 \sqrt{2}

${(1 + 2 \sqrt{x})}^{3} {(1 - \sqrt[3]{x})}^{8}$ 的展开式中 $x$ 的系数是（）

A．

- 4

B．

- 2

C．

2

D．

4

某校开设 $A$ 类选修课3门， $B$ 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 .

A．

30种

B．

35种

C．

42种

D．

48种

正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为( ).

A．

\frac{\sqrt{2}}{3}

B．

\frac{\sqrt{3}}{3}

C．

\frac{2}{3}

D．

\frac{\sqrt{6}}{3}

设 $a = \log_{3} 2, b = \ln 2, c = 5^{- \frac{1}{2}}$ ，则( )

A．

a < b < c

B．

b < c < a

C．

c < a < b

D．

c < b < a

已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A．

\frac{\sqrt{3}}{2}

B．

\frac{\sqrt{6}}{2}

C．

\sqrt{3}

D．

\sqrt{6}

已知函数 $f (x) = | l g x |$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + 2 b$ 的取值范围是（）

A．

(2 \sqrt{2}, + \infty)

B．

[2 \sqrt{2}, + \infty)

C．

(3, + \infty)

D．

[3, + \infty)

已知圆 $O$ 的半径为1， $P A, P B$ 为该圆的两条切线， $A, B$ 为两切点，那么 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为（）

A．

- 4 + \sqrt{2}

B．

- 3 + \sqrt{2}

C．

- 4 + 2 \sqrt{2}

D．

- 3 + 2 \sqrt{2}

已知在半径为2的球面上有 $A, B, C, D$ 四点，若 $A B = C D = 2$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为

A．

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B．

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

C．

2 \sqrt{3}

D．

\frac{8 \sqrt{3}}{3}

不等式 $\sqrt{2 x^{2} + 1} - x \leq 1$ 的解集是.

已知 $α$ 为第三象限的角， $\cos 2 α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} + 2 α)$ $=$ .

直线 $y = 1$ 与曲线 $y = x^{2} - |x| + a$ 有四个交点，则 $a$ 的取值范围是

已知 $F$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点， $B$ 是短轴的一个端点，线段 $B F$ 的延长线交 $C$ 于点 $D$ ，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F D}$ ，则 $C$ 的离心率为.

已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ 及其对边 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = a c t A + b c o t B$ ，求内角 $C$ ．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 $0.5$ ，复审的稿件能通过评审的概率为 $0.3$ ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）记 $X$ 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求 $X$ 的分布列及期望．

如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / D C, A D ⊥ D C, A B = A D = 1, D C = S D = 2$ ， $E$ 为棱 $S B$ 上的一点，平面 $E D C ⊥$ 平面 $S B C$ .
（Ⅰ）证明： $S E = 2 E B$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - D E - C$ 的大小 .

已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - x + 1$ .
（Ⅰ）若 $x f^{`} (x) \leq x^{2} + a x + 1$ ,求 $a$ 的取值范围；
（Ⅱ）证明: $(x - 1) f (x) \geq 0$ .

已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与相交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点 $F$ 在直线 $B D$ 上；
（Ⅱ）设 $\overset{⇀}{F A} \cdot \overset{⇀}{F B} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程 .

已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = c - \frac{1}{a_{n}}$ .
（Ⅰ）设 $c = \frac{5}{2}, b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 2}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 $a_{n} < a_{n - 1} < 3$ 成立的 $c$ 的取值范围.