2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学全解全析-优题课

$\cos 300 ° =$ （）.

A．

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B．

- \frac{1}{2}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{\sqrt{3}}{2}

设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $M = {1, 4}$ ， $N = {1, 3, 5}$ ，则 $N \cap (C_{U} M)$ =( )

A．

{1, 3}

B．

{1, 5}

C．

{3, 5}

D．

{4, 5}

若变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 1 \\ x + y \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ , $a_{1} a_{2} a_{3} = 5, a_{7} a_{8} a_{9} = 10$ ,则 $a_{4} a_{5} a_{6} =$ （）.

A．

5 \sqrt{2}

B．

7

C．

6

D．

4 \sqrt{2}

$(1 - x^{})^{4} (1 - \sqrt{3})^{3}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A．

-6

B．

-3

C．

0

D．

3

直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于（）

A．

30 °

B．

45 °

C．

60 °

D．

90 °

已知函数 $f (x) = |l g x|$ .若 $a \neq b$ 且 $f (a) = f (b)$ ,则 $a + b$ 的取值范围是（）

A．

(1, + \infty)

B．

[1, + \infty)

C．

(2, + \infty)

D．

[2, + \infty)

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| =$ ( )

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为

A．

\frac{\sqrt{2}}{3}

B．

\frac{\sqrt{3}}{3}

C．

\frac{2}{3}

D．

\frac{\sqrt{6}}{3}

设 $a = \log_{3} 2, b = \ln 2, c = 5^{- \frac{1}{2}}$ 则（）.

A．

a < b < c

B．

b < c < a

C．

c < a < b

D．

c < b < a

已知圆 $O$ 的半径为1， $P A, P B$ 为该圆的两条切线， $A, B$ 为两切点，那么 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为( ).

A．

- 4 + \sqrt{2}

B．

- 3 + \sqrt{2}

C．

- 4 + 2 \sqrt{2}

D．

- 3 + 2 \sqrt{2}

已知在半径为2的球面上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点，若 $A B = C D = 2$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为（）

A．

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B．

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

C．

2 \sqrt{3}

D．

\frac{8 \sqrt{3}}{3}

不等式 $\frac{x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$ 的解集是.

已知 $α$ 为第三象限的角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan 2 α =$ ．

某学校开设 $A$ 类选修课3门， $B$ 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.(用数字作答)

已知 $F$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点， $B$ 是短轴的一个端点，线段 $B F$ 的延长线交 $C$ 于点 $D$ ，且 $\vec{B F} = 2 \vec{F D}$ ，则 $C$ 的离心率为 .

记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 的和为 $S_{n}$ ，设 $S_{3} = 12$ ，且 $2 a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，求 $S_{n}$ .

已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ 及其对边 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = a c o t A + b c o t B$ ，求内角 $C$ ．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = A D = 1$ ， $D C = S D = 2$ ， $E$ 为棱 $S B$ 上的一点，平面 $E D C ⊥$ 平面 $S B C$ .

（Ⅰ）证明： $S E = 2 E B$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - D E - C$ 的大小.

已知函数 $f (x) = 3 a x^{4} - 2 (3 a + 1) x^{3} - 2 (3 a + 1) x^{2} + 4 x$ ．
（Ⅰ）当 $a = \frac{1}{6}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围．

已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ .
（Ⅰ）证明：点 $F$ 在直线 $B D$ 上；
（Ⅱ）设 $\overset{⇀}{F A} \cdot \overset{⇀}{F B} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程 .