2013年全国统一高考文科数学试卷（北京卷）-优题课

已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{x - 1 \leq x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A．

\{0\}

B．

\{- 1, 0\}

C．

\{0, 1\}

D．

\{- 1, 0, 1\}

设 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A．

a c > b c

B．

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

C．

a^{2} > b^{2}

D．

a^{3} > b^{3}

下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A．

y = \frac{1}{x}

B．

y = e^{- x}

C．

y = - x^{2} + 1

D．

y = l g |x|

在复平面内，复数 $i (2 - i)$ 对应的点位于（）

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限

在 $△ A B C$ 中， $a = 3, b = 5, \sin A = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A．

\frac{1}{5}

B．

\frac{5}{9}

C．

\frac{\sqrt{5}}{3}

D．

1

执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 值为（）

A．

1

B．

\frac{2}{3}

C．

\frac{13}{21}

D．

\frac{610}{987}

双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是（）

A．

m > \frac{1}{2}

B．

m \geq 1

C．

m > 1

D．

m > 2

如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为对角线 $B D_{1}$ 的三等分点， $P$ 到各顶点的距离的不同取值有（）

A．	3个	B．	4个
C．	5个	D．	6个

若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点坐标为 $(1, 0)$ ，则 $p =$ ；准线方程为.

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为.

若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20$ ， $a_{3} + a_{5} = 40$ ，则公比 $q =$ ;前 $n$ 项 $S_{n}$ $=$ .

设 $D$ 为不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域，区域 $D$ 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.

函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, x \geq 1 \\ 2^{x}, x < 1 \end{cases}$ 的值域为.

已知点 $A (1, - 1)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (2 ， 1)$ ，若平面区域 $D$ 由所有满足 $\underset{A P}{\to} = λ \underset{A B}{\to} + μ \underset{A C}{\to} (\leq 1 λ \leq 2 ， 0 \leq μ \leq 1)$ ，的点 $P$ 组成，则的面积为.

已知函数 $f (x) = (2 \cos^{2} x - 1) \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 4 x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若 $a \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D, A B ⊥ A D, C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A D$ . $E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，求证：

（Ⅰ） $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；
（Ⅱ） $B E / /$ 平面 $P A D$ ；
（Ⅲ）平面 $B E F / /$ 平面 $P C D$

已知函数 $f (x) = x^{2} + x \sin x + \cos x$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ 处与直线 $y = b$ 相切，求 $a$ 与 $b$ 的值.
（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = b$ 有两个不同的交点，求 $b$ 的取值范围.

直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, C$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）当点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求 $A C$ 的长；
（Ⅱ）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形.

给定数列 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ .对 $i = 1, 2, . . ., n - 1$ ，该数列前 $i$ 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n - i$ 项 $a_{i + 1}, a_{i + 2}, . . ., a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}$ ， $d_{i} = A_{i} - B_{i}$ .
（1）设数列 ${a_{n}}$ 为 $3, 4, 7, 1$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（2）设 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ $(n \geq 4)$ 是公比大于1的等比数列，且 $a_{1} > 0$ .证明： $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是等比数列.
（3）设 $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是公差大于0的等差数列，且 $d_{1} > 0$ ，证明： $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n - 1}$ 是等差数列.