2013年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

函数 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{4})$的最小正周期为

设 $z=(2-i{)}^2$( $i$为虚数单位），则复数 $z$的模为.

双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的两条渐近线的方程为

集合 $\left\{-1,0,1\right\}$共有 个子集.

下图是一个算法的流程图，则输出的 $n$的值是

抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：

则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为.

现有某病毒记作 $X_m{Y}_n$其中正整数 $m$、 $n$（ $m\le 7,n\le 9$）可以任意选取，则 $m$、 $n$都取到奇数的概率为

如图，在三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$中， $D,E,F$分别为 $AB,AC,A{A}_1$的中点，设三棱锥 $F-ADE$体积为 $V_1$，三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$的体积为 $V_2$，则 $V_1:V_2=$.

抛物线 $y=x^2$在 $x=1$处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 $D$（包含三角形内部和边界）.若点 $P(x,y)$是区域 $D$内任意一点，则 $x+2y$的取值范围是.

设 $D,E$分别是 $∆ABC$的边 $AB,BC$上的点， $AD=\frac{1}{2}AB,BE=\frac{2}{3}BC$. 若 $\stackrel{\rightharpoonup }{DE}={\lambda }_1\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+{\lambda }_2\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$( ${\lambda }_1{\lambda }_2$为实数），则 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$的值是.

已知 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上的奇函数. 当 $x>0$时， $f\left(x\right)=x^2-4x$，则不等式 $f\left(x\right)>x$的解集用区间表示为.

在平面直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $C$的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，右焦点为 $F$，右准线为 $l$，短轴的一个端点 $B$. 设原点到直线 $BF$的距离为 $d_1$， $F$点到 $l$的距离为 $d_2$. 若 $d_2=\sqrt{6}{d}_1$，则椭圆 $C$的离心率为.

在平面直角坐标系 $xoy$中，设定点 $A\left(a,a\right)$， $P$是函数 $y=\frac{1}{x}\left(x>0\right)$图象上一动点. 若点 $P$， $A$之间的最短距离为 $2\sqrt{2}$，则满足条件的实数 $a$的所有值为

在正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_5=\frac{1}{2},a_6+a_7=3$. 则满足 $a_1+a_2+...+a_n>a_1{a}_2...a_n$的最大正整数 $n$的值为.

已知 $a=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),b=(\cos \beta ,\sin \beta ),0<\beta <\alpha <\pi$.
（1）若 $\left|a-b\right|=\sqrt{2}$，求证： $a\perp b$；
（2）设 $c\ne (0,1)$，若 $a+b=c$，求 $\alpha ,\beta$的值.

如图，在三棱锥 $S-ABC$中，平面 $SAB\perp$平面 $SBC$， $AB\perp BC$， $AS=AB$. 过点 $A$作 $AF\perp SB$，垂足为 $F$，点 $E$， $G$分别为棱 $SA$， $SC$的中点.

求证：（1）平面 $EFG\perp$平面 $ABC$；
（2） $BC\perp SA$.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $A(0,3)$，直线 $l:y=2x-4$，设圆 $C$的半径为1， 圆心在 $l$上.

（1）若圆心 $C$也在直线 $y=x-1$上，过点 $A$作圆 $C$的切线，求切线方程；
（2）若圆 $C$上存在点 $M$，使 $MA=2MO$，求圆心 $C$的横坐标 $a$的取值范围.

如图，旅客从某旅游区的景点 $A$处下山至 $C$处有两种路径.一种是从 $A$沿直线步行到 $C$，另一种从 $A$沿索道乘缆车到 $B$，然后从 $B$沿直线步行到 $C$.现有甲、乙两位游客从 $A$处下山，甲沿 $AC$匀速步行，速度为50 $m/min$，在甲出发2 $min$后，乙从 $A$乘缆车到 $B$，在 $B$处停留1 $min$后，再从 $B$匀速步行到 $C$. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m/min$，山路 $AC$长1260 $m$，经测量， $\cos A=\frac{12}{13},\cos C=\frac{3}{5}$.

（1）求索道 $AB$的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

设 $\left\{a_n\right\}$是首项为 $a$，公差为 $d$的等差数列（ $d\ne 0$）， $S_n$是前 $n$项和. 记 $b_n=\frac{n{S}_n}{n^2+c}$， $n\in N^{+}$，其中 $c$为实数.
（1）若 $c=0$，且 $b_1,b_2,b_4$成等比数列，证明： $S_{nk}=n^2{S}_k(k,n\in N^{+})$；
（2）若 $\left\{b_n\right\}$是等差数列，证明 $c=0$.

设函数 $f\left(x\right)=\ln x-ax,g\left(x\right)=e^x-ax$,其中 $a$为实数.

（1）若 $f\left(x\right)$在 $\left(1,+\infty \right)$上是单调减函数,且 $g\left(x\right)$在 $\left(1,+\infty \right)$上有最小值,求 $a$的取值范围；
（2）若 $g\left(x\right)$在 $\left(-1,+\infty \right)$上是单调增函数,试求 $f\left(x\right)$的零点个数,并证明你的结论.

$AB$、 $BC$分别与圆 $O$相切于 $D$、 $C$， $AC$经过圆心 $O$，且 $BC=2OC$，求证： $AC=2AD$.

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$， $B=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 6\end{array}\right]$，求矩阵 $A^{-1}B$.

在平面直角坐标系 $xOy$中,直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=2t\end{array}\right.$,( $t$为参数),曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2{\tan }^2\theta \\ y=2\tan \theta \end{array}\right.$,( $\theta$为参数),试求直线 $l$和曲线 $C$的普通方程,并求它们的公共点的坐标.

已知 $a\ge b>0$，求证： $2a^3-b^3\ge 2a{b}^2-a^{2}b$.

如图，在直三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$中， $AB\perp AC$， $AB=AC=2$， $A{A}_1=4$，点 $D$是 $BC$的中点.

（1）求异面直线 $A_{1}B$与 $C_{1}D$所成角的余弦值；
（2）求平面 $AD{C}_1$与平面 $AB{A}_1$所成二面角的正弦值.

设数列 $\left\{a_n\right\}$： $1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,\cdots ,\stackrel{k个}{\stackrel{⏞}{{\left(-1\right)}^{k-1}k,\cdots ,{\left(-1\right)}^{k-1}k}},\cdots$，即当 $\frac{\left(k-1\right)k}{2}<n\le \frac{k\left(k+1\right)}{2}\left(k\in N^{*}\right)$时，记 $a_n={\left(-1\right)}^{k-1}k$.记 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\left(n\in N^{*}\right)$. 对于 $l\in N^{*}$，定义集合 $p_i=\left\{\overline{)n}{S}_n是a_n\mathrm{的整数倍},n\in N^{*},1\le n\le l\right\}$.
（1）求集合 $P_{11}$中元素的个数；
（2）求集合 $P_{2000}$中元素的个数.