2013年全国统一高考理科数学试卷（大纲卷）-优题课

设集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {4, 5}$ ， $M = {x | x = a + b, a \in A, b \in B}$ ，则 $M$ 中元素的个数为（）

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

${(1 + \sqrt{3})}^{3} =$ （）

A．

-8

B．

8

C．

- 8 i

D．

8 i

已知向量 $\overset{⇀}{m} = (λ + 1, 1)$ ， $\overset{⇀}{n} = (λ + 2, 2)$ ，若 $(\overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n}) ⊥ (\overset{⇀}{m} - \overset{⇀}{n})$ ，则 $λ$ $=$ （）

A．

-4

B．

-3

C．

-2

D．

-1

已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 0)$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域（）

A．

(- 1, 1)

B．

(- 1, - \frac{1}{2})

C．

(- 1, 0)

D．

(\frac{1}{2}, 1)

函数 $f (x) = \log_{2} (1 + \frac{1}{x}), (x > 0)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ =（）

A．

\frac{1}{2^{x} - 1} (x > 0)

B．

\frac{1}{2^{x} - 1} (x \neq 0)

C．

2^{x} - 1 (x \in R)

D．

2^{x} - 1 (x > 0)

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $3 a_{n + 1} + a_{n} = 0, a_{2} = - \frac{4}{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和等于（）

A．

- 6 (1 - 3^{- 10})

B．

\frac{1}{9} (1 - 3^{10})

C．

3 (1 - 3^{- 10})

D．

3 (1 + 3^{- 10})

$(1 + x)^{8} (1 + y)^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数是（）

A．

56

B．

84

C．

112

D．

168

椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且直线 $P A_{2}$ 斜率的取值范围是 $[- 2, - 1]$ ，那么直线 $P A_{1}$ 斜率的取值范围是（）

A．

[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]

B．

[\frac{3}{8}, \frac{3}{4}]

C．

[\frac{1}{2}, 1]

D．

[\frac{3}{4}, 1]

若函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{x}$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A．

[- 1, 0]

B．

[- 1, + \infty)

C．

[0, 3]

D．

[3, + \infty)

已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A．

\frac{2}{3}

B．

\frac{\sqrt{3}}{3}

C．

\frac{\sqrt{2}}{3}

D．

\frac{1}{3}

已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 与点 $M (- 2, 2)$ ，过C的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} = 0$ ，则 $k =$ （）

A．

\frac{1}{2}

B．

\frac{\sqrt{2}}{2}

C．

\sqrt{2}

D．

2

已知函数 $f (x) = \cos x \sin 2 x$ ，下列结论中错误的是（）

A．	$y = f (x)$ 的图像关于点 $(π, 0)$ 中心对称	B．	$y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称
C．	$f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$	D．	$f (x)$ 既是奇函数，又是周期函数

已知 $α$ 是第三象限角， $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $c o t α =$

6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)

记不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{matrix}$ ，所表示的平面区域为 $D$ .若直线 $y = a (x + 1)$ 与 $D$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是.

已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径, $O K = \frac{3}{2}$ ,且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{°}$ ,则球 $O$ 的表面积等于.

等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $S_{3} = {a_{2}}^{2}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

设 $∆ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求 $C$ .

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{°}, B C = 2 A D$ ， $△ P A B$ 和 $△ P A D$ 都是等边三角形.

（Ⅰ）证明： $P B ⊥ C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P D - C$ 的大小.

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为3，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ .
（Ⅰ）求 $a, b$ ；
（Ⅱ）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}| = |B F_{1}|$ ，证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列.

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{x (1 + λ x)}{1 + x}$ .
（Ⅰ）若 $x \geq 0$ 时, $f (x) \leq 0$ ,求 $λ$ 的最小值；
（Ⅱ）设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ,证明: $a_{2 n} - a_{n} + \frac{1}{4 n} > \ln 2$ .