2013年全国统一高考文科数学试卷（大纲卷）-优题课

设集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 集合 $A = \{1, 2\}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A．

\{1, 2\}

B．

\{3, 4, 5\}

C．

\{1, 2, 3, 4, 5\}

D．

\emptyset

已知 $a$ 是第二象限角， $\sin a = \frac{5}{13}$ 则 $\cos a =$ （）

A．

- \frac{12}{13}

B．

- \frac{5}{13}

C．

\frac{5}{13}

D．

\frac{12}{13}

已知向量 $\overset{⇀}{m} = (λ + 1, 1), \overset{⇀}{n} = (λ + 2, 2)$ ，若 $(\overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n}) ⊥ (\overset{⇀}{m} - \overset{⇀}{n})$ ，则 $λ$ =（）

A．

-4

B．

-3

C．

-2

D．

-1

不等式 $|x^{2} - 2| < 2$ 的解集是（）

A．

(-1,1)

B．

(-2,2)

C．

(- 1, 0) \cup (0, 1)

D．

(- 2, 0) \cup (0, 2)

${(x + 2)}^{8}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是（）

A．

28

B．

56

C．

112

D．

224

函数 $f (x) = \log_{2} (1 + \frac{1}{x}) (x > 0)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ =（）

A．

\frac{1}{2^{x} - 1} (x > 0)

B．

\frac{1}{2^{x} - 1} (x \neq 0)

C．

2^{x} - 1 (x \in R)

D．

2^{x} - 1 (x > 0)

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $3 a_{n + 1} + a_{n} = 0, a_{2} = - \frac{4}{3}$ ,则 $\{a_{n}\}$ 的前10项和等于（）

A．

- 6 (1 - 3^{- 10})

B．

\frac{1}{9} (1 - 3^{10})

C．

3 (1 - 3^{- 10})

D．

3 (1 + 3^{- 10})

已知 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 3$ 则 $C$ 的方程为（）

A．

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

B．

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

C．

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

D．

$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

若函数 $y = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图像如图，则 $ω =$ （）

A．

5

B．

4

C．

3

D．

2

已知曲线 $y = x^{4} + a x^{2} + 1$ 在点 $(- 1, a + 2)$ 处切线的斜率为8， $a =$ （）

A．

9

B．

6

C．

-9

D．

-6

已知正四棱锥 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A．

\frac{2}{3}

B．

\frac{\sqrt{3}}{3}

C．

\frac{\sqrt{2}}{3}

D．

\frac{1}{3}

已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 与点 $M (- 2, 2)$ ，过 $C$ 的焦点且切率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ B两点，若 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} = 0$ ，则 $k =$ （）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\sqrt{2}$

D．

$2$

设 $f (x)$ 是以2为周期的函数，且当 $x \in [1, 3)$ 时, $f (x) =$ .

从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）

若 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} \begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{matrix} \end{cases}$ 则 $z = - x + y$ 的最小值为.

已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径， $O K = \frac{3}{2}$ ，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{°}$ 则球 $O$ 的表面积等于.

等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{7} = 4, a_{19} = 2 a_{9}$ .

（I）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求 $C$ .

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °, B C = 2 A D, △ P A B$ $与 △ P A D$ 都是边长为2的等边三角形.

（I）证明： $P B ⊥ C D$

（II）求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ 各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 x + 1$ .

（I）当 $a = - \sqrt{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in [2, + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 离心率为直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$

（I）求 $a, b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交有 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}| - |B F_{1}|$ 证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列