2013年全国统一高考理科数学试卷（全国Ⅱ卷）-优题课

已知集合 $M = \{x {(x - 1)}^{2} < 4, x \in R\}$ ， $N = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N$ =（）

A．	$\{0, 1, 2\}$	B．	$\{- 1, 0, 1, 2\}$
C．	$\{- 1, 0, 2, 3\}$	D．	$\{0, 1, 2, 3\}$

设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则 $z =$ （）.

A．

- 1 + i

B．

- 1 - i

C．

1 + i

D．

1 - i

等比数列 $\{a_{1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ ， $a_{5} = 9$ ，则 $a_{1}$ =（）

A．	$\frac{1}{3}$	B．	- $\frac{1}{3}$
C．	$\frac{1}{9}$	D．	- $\frac{1}{9}$

已知 $m, n$ 为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $l$ 满足 $l ⊥ m, l ⊥ n, l ⊄ α, l ⊄ β$ 则（）

A．	$α / / β$ 且 $l / / α$	B．	$α ⊥ β$ 且 $l ⊥ β$
C．	$α$ 与 $β$ 相交，且交线垂直于 $l$	D．	$α$ 与 $β$ 相交，且交线平行于 $l$

已知 $（ 1 + a x) (1 + x)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为5，则 $a =$ （）

A．

-4

B．

-3

C．

-2

D．

-1

执行下面的程序框图，如果输入的 $N$ =10，那么输出的 $s =$

A．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{10}$
B．	$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . + \frac{1}{10!}$
C．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{11}$
D．	$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . + \frac{1}{11!}$

一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中的坐标分别是（1，0，1）,（1，1，0）,（0，1，1）,（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 $z o x$ 平面为投影面，则得到的正视图可以为

A．		B．
C．		D．

设 $a = \log_{3} 6, b = \log_{5} 10, c = \log_{7} 14$ ,则

A．	$c > b > a$	B．	$b > c > a$
C．	$a > c > b$	D．	$a > b > c$

已知 $a > 0, x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq a (x - 3) \end{matrix}$ ,若 $z = 2 x + y$ 的最小值为1，则 $a =$ （）

A．

\frac{1}{4}

B．

\frac{1}{2}

C．

1

D．

2

已知函数 $f (x) =$ $x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ,下列结论中错误的是（）

A．	$\exists x_{0} \in R, f (x_{0}) = 0$
B．	函数 $y = f (x)$ 的图像是中心对称图形
C．	若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, x)$ 单调递减
D．	若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f ` (x_{0}) = 0$

设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $|M F|$ =5,若以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0, 2)$ ，则 $C$ 的方程为（）

A．	$y^{2} = 4 x$ 或 $y^{2} = 8 x$	B．	$y^{2} = 2 x$ 或 $y^{2} = 8 x$
C．	$y^{2} = 4 x$ 或 $y^{2} = 16 x$	D．	$y^{2} = 2 x$ 或 $y^{2} = 16 x$

已知点 $A (- 1, 0), B (1, 0), C (0, 1)$ ，直线 $y = a x + b (a > 0)$ 将 $△ A B C$ 分割为面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围是

A．

(0, 1)

B．

(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})

C．

(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{3}]

D．

[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})

已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D} =$ .

从 $n$ 个正整数1，2，…， $n$ 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 $\frac{1}{14}$ ，则 $n$ =.

设 $θ$ 为第二象限角，若 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin θ + \cos θ$ =_________.

等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10} = 0, S_{15} = 25$ ，则 $n S_{n}$ 的最小值为.

$△ A B C$ 在内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + c \sin B$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

如图，直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ .

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - A_{1} C - E$ 的正弦值.

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1 t$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品，每 $1 t$ 亏损 $300$ 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 $130 t$ 该农产品.以 $x$ （单位： $t$ ， $100 \leq x \leq 150$ ）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量， $T$ 表示利润.

（Ⅰ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率;
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $x \in [100, 110)$ ,则取 $x = 105$ ，且 $x = 105$ 的概率等于需求量落入 $[100, 110)$ ，求 $T$ 的数学期望.

平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 交 $M$ 于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为.
(Ι)求 $M$ 的方程；
（Ⅱ） $C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D ⊥ A B$ ，求四边形面积的最大值

已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ .
 (Ι)设 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $m \leq 2$ 时，证明 $f (x) > 0$ .

如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 外接圆的切线， $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

（Ⅰ）证明： $C A$ 是 $△ A B C$ 外接圆的直径；
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ ,求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $△ A B C$ 外接圆面积的比值.

设 $a, b, c$ 均为正数,且 $a + b + c = 1$ ,证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$

（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$