2013年全国统一高考文科数学试卷（全国Ⅱ卷）-优题课

已知集合 $M = \{x | - 3 < x < 1\}, N = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1\}$ ,则 $M \cap N =$ （）

A．

N = \{- 2, - 1, 0, 1\}

B．

\{- 3, - 2, - 1, 0\}

C．

\{- 2, - 1, 0\}

D．

\{- 3, - 2, - 1\}

$|\frac{2}{1 + i}| =$ （）

A．

2 \sqrt{2}

B．

2

C．

\sqrt{2}

D．

1

设 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} \begin{matrix} x - y + 1 \geq 0, \\ x + y - 1 \geq 0, \\ x \leq 3, \end{matrix} \end{cases}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值是（）

A．

- 7

B．

- 6

C．

- 5

D．

- 9

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $b = 2, B = \frac{π}{6}, C = \frac{π}{4}$ ，则 $∆ A B C$ 的面积为（）

A．

2 \sqrt{3} + 2

B．

\sqrt{3} + 1

C．

2 \sqrt{3} - 2

D．

\sqrt{3} - 1

设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，P是C上的点， $P F_{2}$ ⊥ $F_{1}$ $F_{2}$ ， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则C的离心率为（）

A．

\frac{\sqrt{3}}{6}

B．

\frac{1}{3}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{\sqrt{3}}{3}

已知 $\sin 2 a = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos^{2} (a + \frac{π}{4})$ =（）

A．

\frac{1}{6}

B．

\frac{1}{3}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{2}{3}

执行如图的程序框图，如果输入的 $N = 4$ ，那么输出的 $S =$ （）

A．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
B．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3 \times 2}$
C．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$
D．	$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3 \times 2} + \frac{1}{5 \times 4 \times 3 \times 2}$

设 $a = \log_{3} 2, b = \log_{5} 2, c = \log_{2} 3$ ,则（）

A．

a > c > b

B．

b > c > a

C．

c > b > a

D．

c > a > b

一个四面体的顶点在空间直角坐系 $O - x y z$ 中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以 $z O x$ 平面为投影面，则得到的正视图可为（）

设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ,直线 $l$ 过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $| A F | = 3 | B F |$ ,则 $l$ 的方程为（）

A．	$y = x - 1$ 或 $y = - x + 1$
B．	$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$
C．	$y = \sqrt{3} (x - 1)$ 或 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$
D．	$y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x - 1)$ 或 $y = - \frac{\sqrt{2}}{2} (x - 1)$

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ,下列结论中错误的是（）

A．	$\exists x_{0} \in R, f (x_{0}) = 0$
B．	函数 $y = f (x)$ 的图像是中心对称图形
C．	若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, x_{0})$ 单调递减
D．	若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f ` (x_{0}) = 0$

若存在正数 $x$ 使 $2^{x} (x - a) < 1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A．

（-∞，+∞）

B．

(-2, +∞)

C．

(0, +∞)

D．

（-1，+∞）

从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为.

已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D}$ =.

已知正四棱锥 $O - A B C D$ 的体积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，底面边长为 $\sqrt{3}$ ，则以 $O$ 为球心， $O A$ 为半径的球的表面积为.

函数 $y = \cos (2 x + φ) (- π \leq φ < π)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后,与函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图像重合,则 $φ$ =.

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + . . . + a_{3 n - 2}$ .

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
（Ⅱ）设 $A A_{1} = A C = C B = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $C - A_{1_{}} D E$ 的体积.

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 $t$ 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 $t$ 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 $t$ 该农产品.以（单位： $t$ ，100≤ $x$ ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量， $T$ (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（Ⅰ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$ 不少于57000元的概率.

在平面直角坐标系 $x o y$ 中，己知圆 $P$ 在 $x$ 上截得线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求圆心 $P$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$ 点到直线 $y = x$ 的距离为，求圆 $P$ 的方程.

己知函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .
(I)求 $f (x)$ 的极小值和极大值；
(II)当曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.

如图, $C D$ 为 $∆ A B C$ 外接圆的切线, $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D$ , $E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点,且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

证明：

（Ⅰ） $C A$ 是 $∆ A B C$ 外接圆的直径;
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ .求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $∆ A B C$ 外接圆面积的比值.

已知动点 $P$ ， $Q$ 都在曲线C： $\{\begin{cases} x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （ $t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = a$ 与 $t = 2 a$ （ $0 < a < 2 π$ ）， $M$ 为 $P Q$ 的中点。

（Ⅰ）求 $M$ 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $a$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。

设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ，证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$ ；
（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$