2013年全国统一高考理科数学试卷（陕西卷）-优题课

设全集为 $R$ , 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的定义域为 $M$ , 则 $C_{R} M$ 为（）

A．	$[- 1, 1]$	B．	$(- 1, 1)$
C．	$(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$	D．	$(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

根据下列算法语句, 当输入 $x$ 为60时, 输出 $y$ 的值为（）

A．

25

B．

30

C．

31

D．

61

设 $a$ , $b$ 为向量, 则" $|a . b| = |a| |b|$ "是" $a ∥ b$ "的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）

A．

11

B．

12

C．

13

D．

14

如图, 在矩形区域 $A B C D$ 的 $A$ , $C$ 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 $A D E$ 和扇形区域 $C B F$ (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）

A．

1 - \frac{π}{4}

B．

\frac{π}{2} - 1

C．

2 - \frac{π}{2}

D．

\frac{π}{4}

设 $z_{1}, z_{2}$ 是复数, 则下列命题中的假命题是（）

A．	若 $\|z_{1} - z_{2}\| = 0$ , 则 $z_{1} = z_{2}$	B．	若 $z_{1} = z_{2}$ , 则 $z_{1} = z_{2}$
C．	若 $\|z_{1} = z_{2}\|$ , 则 $z_{1} \cdot z_{1} = z_{2} \cdot z_{2}$	D．	若 $\|z_{1} = z_{2}\|$ , 则 ${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2}$

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ , 若 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ , 则 $△ A B C$ 的形状为（）

A．

锐角三角形

B．

直角三角形

C．

钝角三角形

D．

不确定

设函数 $f (x) \{\begin{cases} {(x - \frac{1}{4})}^{4}, x < 0 \\ - \sqrt{x}, x \geq 0 \end{cases}$  , 则当 $x > 0$ 时, $f [f (x)]$ 表达式的展开式中常数项为（）

A．

－20

B．

20

C．

－15

D．

15

在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 $x$ (单位 $m$ )的取值范围是（）

A．

[15,20]

B．

[12,25]

C．

[10,30]

D．

[20,30]

设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）

A．	$[- x] = - [x]$	B．	$[2 x] = 2 [x]$
C．	$[x + y] \leq [x] + [y]$	D．	$[x - y] \leq [x] - [y]$

双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ , 则 $m$ 等于.

某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.

若点 $(x, y)$ 位于曲线 $y = |x - 1|$ 与 $y$ ＝2所围成的封闭区域, 则 $2 x - y$ 最小值为.

观察下列等式:
$1^{2} = 1$  
$1^{2} - 2^{2} = - 3$

$1^{2} - 2^{2} + 3^{2} = 6$

$1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} = - 10$

…
照此规律,第 $n$ 个等式可为.

已知 $a, b, m, n$ 均为正数, 且 $a + b = 1, m n = 2$ , 则 $(a m + b n) (b m + a n)$ 的最小值为.

如图, 弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于 $O$ 内一点 $E$ , 过 $E$ 作 $B C$ 的平行线与 $A D$ 的延长线相交于点 $P$ . 已知 $P D = 2 P A = 2$ , 则 $P E$ ＝.

(坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 $θ$ 为参数, 则圆 $x^{2} + y^{2} - x = 0$ 的参数方程为.

已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
(Ⅰ) 求 $f (x)$ 的最小正周期.
(Ⅱ) 求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
(Ⅰ) 推导 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式;
(Ⅱ) 设 $q \neq 1$ , 证明数列 $\{a_{n} + 1\}$ 不是等比数列.

如图, 四棱柱 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

(Ⅰ) 证明: $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ;
(Ⅱ) 求平面 $O C B_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的夹角 $θ$ 的大小.

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 $X$ 的分布列和数学期望.

已知动圆过定点 $A (4, 0)$ , 且在 $y$ 轴上截得的弦 $M N$ 的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程;
(Ⅱ) 已知点 $B (－ 1, 0)$ , 设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P, Q$ , 若 $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线, 证明直线 $l$ 过定点.

已知函数 $f (x), x \in R$ .
(Ⅰ) 若直线 $y = k x + 1$ 与 $f (x)$ 的反函数的图像相切, 求实数 $k$ 的值;
(Ⅱ) 设 $x > 0$ , 讨论曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = m^{} x^{2} (m > 0)$ 公共点的个数.
(Ⅲ) 设 $a < b$ , 比较 $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ 与 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小, 并说明理由.