2007年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）-优题课

$i$ 是虚数单位， $\frac{2 i^{3}}{1 - i} =$ ( )

A．

1 + i

B．

- 1 + i

C．

1 - i

D．

- 1 - i

设变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq - 1 \\ x + y \geq 1 \\ 3 x - y < 3 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 4 x + y$ 的最大值为（　　）

A．

4

B．

11

C．

12

D．

14

" $θ = \frac{2 π}{3}$ "是" $\tan θ = 2 \cos (\frac{π}{2} + θ)$ "的（）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，且它的一条准线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线重合，则此双曲线的方程为（）

A．	$\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{24} = 1$	B．	$\frac{x^{2}}{48} - \frac{y^{2}}{96} = 1$
C．	$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 y^{2}}{3} = 1$	D．	$\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

函数 $y = \log_{2} (\sqrt{x + 4} + 2) (x > 0)$ 的反函数是（）

A．	$y = 4^{x} - 2^{x + 1} (x > 2)$	B．	$y = 4^{x} - 2^{x + 1} (x > 1)$
C．	$y = 4^{x} - 2^{x + 2} (x > 2)$	D．	$y = 4^{x} - 2^{x + 2} (x > 1)$

设 $a, b$ 为两条直线， $α, β$ 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A．	若 $a, b$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $a ∥ b$
B．	若 $a ∥ α, b ∥ β, α ∥ β$ ，则 $a ∥ b$
C．	若 $a \subset α, b \subset β, a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$
D．	若 $a ⊥ α, b ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$

在 $R$ 上定义的函数 $f (x)$ 是偶函数，且 $f (x) = f (2 - x)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上是减函数，则 $f (x)$ （）

A．	在区间 $[- 2, - 1]$ 上是增函数，在区间 $[3, 4]$ 上是增函数
B．	在区间 $[- 2, - 1]$ 上是增函数，在区间 $[3, 4]$ 上是减函数
C．	在区间 $[- 2, - 1]$ 上是减函数，在区间 $[3, 4]$ 上是增函数
D．	在区间 $[- 2, - 1]$ 上是减函数，在区间 $[3, 4]$ 上是减函数

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d$ 不为0， $a_{1} = 9 d$ ．若 $a_{k}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{2 k}$ 的等比中项，则 $k =$ （）

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

设 $a, b, c$ 均为正数，且 $2^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a$ , ${(\frac{1}{2})}^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b$ , ${(\frac{1}{2})}^{c} = \log_{2} c$ ,则（）

A．

a < b < c

B．

c < b < a

C．

c < a < b

D．

b < a < c

设两个向量 $a = (λ + 2, λ^{2} - \cos^{2} α)$ 和 $b = (m, \frac{m}{2} + \sin α)$ ，其中 $λ, m, α$ 为实数．若 $a = 2 b$ ，中央电视台 $\frac{λ}{m}$ 的取值范围是（）

A．	$[- 6, 1]$
B．	$[4, 8]$
C．	$(- \infty, 1]$
D．	$[- 1, 6]$

若 ${(x^{2} + \frac{1}{a x})}^{6}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\frac{5}{2}$ ，则 $a =$ （用数字作答）．

一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．

设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 是2，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{{a_{n}}^{2} - n^{2}}{S_{n}} =$ ．

已知两圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 和 $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20$ 相交于 $A, B$ 两点，则直线 $A B$ 的方程是．

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120^{°}, A B = 2, A C = 1$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $D C = 2 B D$ ，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{B C}$ =．

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有＿＿＿＿种（用数字作答）．

已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x - \cos x) + 1, x \in R$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值和最大值．

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设 $ξ$ 为取出的4个球中红球的个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D, A C ⊥ C D, ∠ A B C = 60^{°}, P A = A B = B C, E$ 是 $P C$ 的中点．
（Ⅰ）证明 $C D ⊥ A E$ ；
（Ⅱ）证明 $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A - P D - C$ 的大小．

已知函数 $f (x) = \frac{2 a x - a^{2} + 1}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n - 1} = λ a_{n} + λ^{n + 1} + (2 - λ) 2^{n} (n \in N^{+})$ ，其中 $λ > 0$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（Ⅲ）证明存在 $k \in N^{+}$ ，使得 $\frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \leq \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 对任意 $n \in N^{+}$ $\{a_{n}\}$ 均成立．

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, A$ 是椭圆上的一点， $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，原点 $O$ 到直线 $A F_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} |O F_{1}|$ ．
（Ⅰ）证明 $a = \sqrt{2} b$ ；
（Ⅱ）设 $Q_{1}, Q_{2}$ 为椭圆上的两个动点， $O Q_{1} ⊥ O Q_{2}$ ，过原点 $O$ 作直线 $Q_{1} Q_{2}$ 的垂线 $O D$ ，垂足为 $D$ ，求点 $D$ 的轨迹方程．